Static, dynamic and stability finite element analysis of gradient elastic beam structures

Abstract

The present Doctoral Dissertation develops a finite element method for the static, stability and dynamic analysis of gradient elastic beam structures, which find applications in modern microelectronic and nanoelectronic devices. These linear elastic structures have extremely small dimensions, which are comparable to their microstructural lengths and thus their static, stability or dynamic response to applied mechanical loading depends on their microstructure. Classical linear elasticity theories cannot take into account microstructural effects and generalized or higher-order elasticity theories have to be employed. These theories are characterized by non-locality of stress and internal length parameters and can take into account microstructural effects in a macroscopic manner. The general theory of elasticity with microstructure due to Mindlin (1964) in its simplified form with just one elastic constant in addition to the classical ones, known as the gradient theory of elasticity, is adopted here. Even though many simple problems concerning gradient elastic beams, plates and shells under static or dynamic loads have been solved analytically, for structures of complicated geometry and loading, use of numerical methods of solution is imperative. Here the powerful and very popular finite element method is used to study static, stability and dynamic problems of gradient elastic beam structures. In static or stability analysis, the exact solution of the equilibrium governing equation of the problem is used as the displacement function for the development of the stiffness matrix of a beam-column element and hence the resulting matrix is also exact and leads to the exact solution of the problem. For a gradient elastic Bernoulli-Euler beam element with two nodal points of three degrees of freedom each (deflection, slope and curvature) the element stiffness matrix is of the 6x6 order. The buckling or critical load is obtained by taking the determinant of the stiffness matrix equal to zero. In dynamic analysis, the governing equation of flexural motion is brought first in the frequency domain and thus its exact solution can be easily obtained. Using this exact solution as the displacement function an exact 6x6 finite element stiffness matrix is constructed in the frequency domain. Use of this matrix in a finite element framework can lead to the exact solution of either the free or the forced vibration problem. Solution of the free vibration problem leads to natural frequencies and modal shapes. Solution of the forced vibration problem provides the response in the frequency domain, which after a numerical inversion leads to the time domain response. Here the frequency domain is the complex one or the Laplace transform domain and the inversion concerns the Laplace transform. Numerical examples are presented in detail to illustrate the method and demonstrate its advantages. Comparison with analytical methods are also presented for verification purposes. Finally, parametric studies are conducted in order to assess the effect of microstructure on the response of structures composed of gradient elastic beams to mechanical loading.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή αναπτύσσει μία μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για την στατική και δυναμική ανάλυση και ανάλυση ευστάθειας κατασκευών που αποτελoύνται από βαθμοελαστικές δοκούς. Αυτές οι κατασκευές βρίσκουν εφαρμογές σε σύγχρονες μικροηλεκτρονικές ή νανοηλεκτρονικές κατασκευές, δηλαδή κατασκευές με εξαιρετικά μικρές διαστάσεις που είναι συγκρίσιμες με τα μήκη της μικροδομής τους. Έτσι η στατική και δυναμική απόκριση τους σε φορτίσεις εξαρτάται από τη μικροδομή τους. Η κλασική θεωρία ελαστικότητας δεν μπορεί να λάβει υπόψη τις επιδράσεις μικροδομής και θα πρέπει κανείς να χρησιμοποιήσει γενικευμένες ή ανωτέρου βαθμού θεωρίες ελαστικότητας. Αυτές οι θεωρίες χαρακτηρίζονται από μη-τοπικές τάσεις και εσωτερικά μήκη και μπορούν να λάβουν υπόψη τους επιδράσεις μικροδομής κατά τρόπο μακροσκοπικό. Η διατριβή αυτή βασίζεται στη γενική θεωρία ελαστικότητας με μικροδομή του Mindlin (1964) στην απλοποιημένη της μορφή με μια μόνο ελαστική σταθερά επιπλέον των κλασικών σταθερών, γνωστή ως βαθμοελαστική θεωρία. Αν και έχουν επιλυθεί αρκετά προβλήματα που αφορούν βαθμοελαστικές δοκούς, πλάκες και κελύφη υπό στατικά ή δυναμικά φορτία, η χρήση αριθμητικών μεθόδων για επίλυση προβλημάτων με πολύπλοκη γεωμετρία και φορτία, είναι επιτακτική. Εδώ γίνεται χρήση της ισχυρής και δημοφιλούς μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για να μελετηθούν προβλήματα στατικά, ευστάθειας και δυναμικά κατασκευών από βαθμοελαστικές δοκούς. Για προβλήματα στατικά ή ευστάθειας, ως συνάρτηση παραμόρφωσης για την κατασκευή του μητρώου δυσκαμψίας ενός στοιχείου δοκού ή δοκού-υποστυλώματος, χρησιμοποιείται η ακριβής λύση της εξίσωσης που διέπει την ισορροπία ή την ευστάθεια μιας βαθμοελαστικής δοκού. Έτσι οδηγείται κανείς στο ακριβές μητρώο δυσκαμψίας και επομένως στην ακριβή λύση του προβλήματος. Για ένα βαθμοελαστικό στοιχείο δοκού Bernoulli-Euler με δύο κόμβους και τρείς βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο (βύθιση, στροφή, καμπυλότητα) το μητρώο δυσκαμψίας δοκού προκύπτει να είναι βαθμών 6x6. Το φορτίο λυγισμού ή κρίσιμο φορτίο βρίσκεται θέτοντας την ορίζουσα του μητρώου δυσκαμψίας ίση με το μηδέν. Για τη δυναμική ανάλυση, η εξίσωση που διέπει τις καμπτικές ταλαντώσεις μιας βαθμοελαστικής δοκού επιλύεται αναλυτικά στο πεδίο συχνοτήτων και η διέπουσα ακριβής λύση χρησιμοποιείται ως συνάρτηση παραμόρφωσης για την κατασκευή του 6x6 μητρώου δυσκαμψίας ενός στοιχείου δοκού. Χρήση αυτού του μητρώου μέσα στα πλαίσια της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων οδηγεί στην ακριβή λύση του προβλήματος, είτε αυτό είναι ελεύθερων ταλαντώσεων είτε εξαναγκασμένων ταλαντώσεων. Επίλυση του προβλήματος ελεύθερων ταλαντώσεων καταλήγει στην εύρεση ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών. Επίλυση του προβλήματος εξαναγκασμένων ταλαντώσεων καταλήγει στην εύρεση της απόκρισης στο πεδίο συχνοτήτων, η οποία τελικά προσδιορίζεται στο πεδίο του χρόνου με αριθμητική αντιστροφή. Εδώ το πεδίο συχνοτήτων είναι μιγαδικό ή πεδίο μετασχηματισμού Laplace και η αντιστροφή αφορά στον μετασχηματισμό αυτό. Επιλύονται και παρουσιάζονται διάφορα αριθμητικά παραδείγματα και επιδεικνύονται τα πλεονεκτήματα της μεθόδου. Επίσης παρουσιάζονται συγκρίσεις της μεθόδου με αναλυτικές λύσεις για λόγους επαλήθευσης. Τέλος εκτελούνται παραμετρικές μελέτες για τον προσδιορισμό της επίδρασης της μικροδομής στην απόκριση κατασκευών από βαθμοελαστικές δοκούς σε μηχανική φόρτιση.