Hurst-Kolmogorov dynamics in hydroclimatic processes and in the microscale of turbulence: a useful guide towards an integrated stochastic framework

Abstract

The high complexity and uncertainty of atmospheric dynamics has been long identified through the observation and analysis of hydrometeorological processes such as temperature, humidity, atmospheric wind, precipitation, atmospheric pressure, river discharges etc. Particularly, all these processes seem to exhibit high unpredictability due to the clustering of events, a behaviour first identified by H.E. Hurst in 1951 while working at the River Nile, although its mathematical description is attributed to A. N. Kolmogorov who developed it while studying turbulence in 1940. To give credits to both scientists this behaviour and dynamics is called Hurst-Kolmogorov (HK). In order to properly study the clustering of events as well as the stochastic behaviour of hydrometeorological processes in general we would require numerous of measurements in annual scale. Unfortunately, large lengths of high quality annual data are hardly available in observations of hydrometeorological processes. However, the microscopic processes driving and generating the hydrometeorological ones are governed by turbulent state. By studying turbulent phenomena in situ we may be able to understand certain aspects of the related macroscopic processes in field. Certain strong advantages of studying microscopic turbulent processes in situ is the recording of very long time series, the high resolution of records and the controlled environment of the laboratory. The analysis of these time series offers the opportunity of better comprehending, control and comparison of the two scientific methods through the deterministic and stochastic approach. In this thesis, we develop the stochastic framework for the empirical as well as theoretical estimation of the marginal characteristic and dependence structure of a process. Also, we develop and apply explicit and implicit algorithms for stochastic synthesis of mathematical processes as well as stochastic prediction of physical processes. Moreover, we discuss and suggest a definition for turbulent processes through the Hurst parameter and the drop of variance with scale based onexperiments held at the laboratory. Additionally, we propose a stochastic model for the behavior of a process from the micro to the macro scale that results from the maximization of entropy. Finally, we apply this model to other microscale turbulent processes as well as to temperature, precipitation, humidity, atmospheric pressure, river discharges and wind time series from thousands of stations around the globe and several billions of data. A summary of the major innovations of the thesis are: (a) the further development, and extensive application to numerous processes, of the classical second-order stochastic framework including innovative approaches to account for discretization effects and statistical bias; (b) the further development of stochastic generation schemes such as the Sum of Autoregressive (SAR) models, e.g. AR(1) or ARMA(1,1), the Symmetric-Moving-Average (SMA) scheme in multiple dimensions (that can generate any process second-order dependence structure, marginal distribution and certain aspects of the intermittency behaviour) and an implicit and explicit cyclo-stationary (CSAR and CSMA) schemes for simulating the periodicities of a process such as seasonal and diurnal; and (c) the introduction and application of an extended HK stochastic model (with an identical expression of marginal distribution and correlation structure) that is in agreement with an interestingly large variety of turbulent (such as thermal jet of positively buoyancy processes using laser-induced fluorescence techniques as well as grid-turbulence generated within a wind-tunnel) and hydroclimatic processes (such as temperature, atmospheric wind, dew-point/humidity, precipitation and atmospheric pressure in a global scale).

Η υψηλή πολυπλοκότητα και αβεβαιότητα της δυναμικής της ατμόσφαιρας έχει από καιρόαναγνωρισθεί μέσα από την εμπειρία και ανάλυση των υδρομετεωρολογικών διεργασιών, όπως θερμοκρασία, υγρασία, άνεμος, βροχόπτωση, ατμοσφαιρική πίεση, παροχές ποταμού κτλ. Συγκεκριμένα, όλες αυτές οι διεργασίες φαίνεται να εμπεριέχουν μεγάλη αβεβαιότητα στην πρόβλεψη που επιτείνεται λόγω της ομαδοποίησης ομοειδών φαινομένων. Αυτή η συμπεριφορά είναι πολύ διαφορετική από την εποχική περιοδικότητα που συμβαίνει σε υπο-ετήσια κλίμακα. Η ομαδοποίηση αυτή των φαινομένων ανιχνεύτηκε πρώτα από τον H.E. Hurst το 1951 στο πλαίσιο μελέτης έργων στον ποταμό Νείλο. Η μαθηματική έκφραση αυτής της συμπεριφοράς αποδίδεται στον A. Kolmogorov που την ανέπτυξε ενώ μελετούσε τυρβώδη φαινόμενα το 1940. Για να δοθεί εξίσου αναγνώριση και στους δύο επιστήμονες, το φαινόμενο και η δυναμική αυτή ονομάζεται Hurst-Kolmogorov (HK). Για την σωστή μελέτη αυτής της ομαδοποίησης των φαινομένων και γενικά την στοχαστική συμπεριφορά των υδρομετεωρολογικών διεργασιών, θα χρειαζόμασταν άφθονες μετρήσεις σε ετήσια κλίμακα. Δυστυχώς, μεγάλα μήκη και υψηλής ποιότητας δεδομένα είναι δύσκολο να βρεθούν για υδρομετεωρολογικές διεργασίες. Ωστόσο, οι φυσικές διεργασίες μικρής κλίμακας που δημιουργούν και οδηγούν τις υδρομετεωρολογικές, διέπονται από τυρβώδη συμπεριφορά. Μελετώντας την μικροκλίμακα τυρβωδών φαινομένων σε εργαστήριο, μπορούμε να κατανοήσουμε ορισμένες εκφάνσεις των συγγενών μακροσκοπικών διεργασιών στο πεδίο. Υπάρχουν ορισμένες ομοιότητες μεταξύ της μικροκλίμακας της ταχύτητας του ανέμου και της θεωρίας τυρβώδους οριακού στρώματος. Επίσης, το μέγεθος των σταγόνων βροχής, που είναι συνυφασμένο με την μορφή και ένταση επεισοδίων βροχόπτωσης, επηρεάζεται από την τυρβώδη κατάσταση της μικροκλίμακας του ανέμου. Ορισμένα ισχυρά πλεονεκτήματα της μελέτης στη μικροκλίμακα τύρβης στο εργαστήριο είναι η καταγραφή χρονοσειρών μεγάλου μήκους, η υψηλή συχνότητα καταγραφής και το ελεγχόμενο περιβάλλον του εργαστηρίου. Η ανάλυση αυτών των χρονοσειρών μας δίνει τη δυνατότητα καλύτερης κατανόησης, ελέγχου και σύγκρισης των δύο επιστημονικών μεθόδων, της ντετερμινιστικής και της στοχαστικής ανάλυσης. Σε αυτή την διατριβή, αναπτύσσουμε το πλαίσιο της στοχαστικής ανάλυσης για την εμπειρική αλλά και θεωρητική εκτίμηση περιθώριων χαρακτηριστικών και δομής συσχέτισης μιας διεργασίας. Επίσης, αναπτύσσουμε και εφαρμόζουμε αλγορίθμους στοχαστικής σύνθεσης μαθηματικών ανελίξεων αλλά και στοχαστικής πρόβλεψης φυσικών διεργασιών. Επίσης, συζητούμε και προτείνουμε έναν χαρακτηρισμό της τυρβώδους συμπεριφοράς μέσα από την παράμετρο Hurst και την μείωση της διασποράς με την αύξηση της χρονικής κλίμακας με βάση εργαστηριακά πειράματα θερμαινόμενης τυρβώδους φλέβας. Επιπρόσθετα, προτείνουμε ένα στοχαστικό μοντέλο συμπεριφοράς μιας διεργασίας από μικρές σε μεγάλες κλίμακες, που προκύπτει από την μεγιστοποίηση της εντροπίας. Τέλος, εφαρμόζουμε αυτό το μοντέλο και σε άλλες διεργασίες μικροκλίμακας τύρβης αλλά και σε χρονοσειρές θερμοκρασίας, βροχόπτωσης, υγρασίας, ατμοσφαιρικής πίεσης, παροχών ποταμού και ανέμου, από χιλιάδες σταθμούς ανά τον κόσμο.