Ουδέτερες κινδύνου κατανομές πιθανότητας μεμειγμένων στοχαστικών διαδικασιών και εφαρμογές

Abstract

In this PhD thesis we prove first, under a mild assumption, that within the class of mixed renewal processes the basic question when a Markov process is a mixed Poisson one with mixing parameter a random variable is answered to the positive. The latter implies the equivalence of the Markov processes, the mixed Poisson processes and the processes that satisfy the multinomial property, within the class of mixed renewal processes. A second consequence of the latter result is the equivalence, under a mild assumption, of all known to us denitions of the mixed Poisson processes. Generalizing an earlier result of Delbaen & Haezendonck [4] we present, for a given compound renewal process S under a probability measure P , a characterization of all probability measures Q on the domain of P , such that P and Q are progressively equivalentand S remains a compound renewal process under Q. As a consequence, it is proven that every compound renewal process can be converted into a compound Poisson one under a change of measures, and some applications to premium calculation principles are presented. The latter result is then generalized for the compound mixed renewal processes, which are of greater interest, since they are a proper model for studying inhomogeneous portfolios of insurance companies. This result has applications in pricing actuarial risks and generalizes the main result of Lyberopoulos PhD Thesis [1], Theorem 7.2.9.

Σε αυτή την διδακτορική διατριβή αποδεικνύεται αρχικά, κάτω από μία ασθενή υπόθεση, ότι μέσα στην κλάση των μεικτών ανανεωτικών διαδικασιών το βασικό πρόβλημα πότε κάθε διαδικασία Markov είναι μία μεικτή διαδικασία Poisson με παράμετρο μείξης μία τυχαία μεταβλητή έχει μία θετική λύση. Αυτό συνεπάγεται την ισοδυναμία των διαδικασιών Markov, των μεικτών διαδικασιών Poisson και των διαδικασιών που ικανοποιούν την πολυωνυμική ιδιότητα μέσα στην κλάση των μεικτών ανανεωτικών διαδικασιών. Μία δεύτερη συνέπεια του παραπάνω αποτελέσματος είναι η ισοδυναμία, κάτω από μία ασθενή συνθήκη, όλων των γνωστών σε εμάς ορισμών των μεικτών διαδικασιών Poisson.Στη συνέχεια, γενικεύοντας ένα παλαιότερο αποτέλεσμα των Delbaen & Haezendonck [4] παρουσιάζουμε, για δοσμένη σύνθετη ανανεωτική διαδικασία S κάτω από ένα μέτρο πιθανότητας P , ένα χαρακτηρισμό όλων των μέτρων πιθανότητας Q επάνω στο πεδίο ορισμού του P , ώστε τα P και Q να είναι προοδευτικά ισοδύναμα και η S να παραμένει μία σύνθετη ανανεωτική διαδικασία κάτω από το Q. Ως συνέπεια αποδεικνύεται ότι κάθε σύνθετη ανανεωτική διαδικασία μπορεί να μετατραπεί σε μία σύνθετη διαδικασία Poisson μέσω μίας αλλαγής μέτρων, και παρουσιάζονται κάποιες εφαρμογές στις αρχές υπολογισμού ασφαλίστρου. Τα παραπάνω αποτελέσματα γενικεύονται σε σύνθετες μεικτές ανανεωτικές διαδικασίες, που παρουσιάζουν μεγαλύτερο ενδιαφέρον, αφού αυτές αποτελούν τα υποδείγματα για την μελέτη ανομοιογενών χαρτοφυλακίων ασφαλιστικών εταιρειών. Το τελευταίο αποτέλεσμα έχει εφαρμογές στην τιμολόγηση ασφαλιστικών κινδύνων και γενικεύει το κύριο αποτέλεσμα της διδακτορικής διατριβής του Λυμπερόπουλου [1], Θεώρημα 7.2.9.