Stochastic models for the estimation of the seismic hazard

Abstract

The aim of this thesis is the development of new mathematical methodologies and the application of mathematical models for the estimation of the seismic hazard in Greece. Different semi-Markov models are developed for studying the seismicity of the areas of the central Ionian Islands and the North Aegean Sea. Quantities such as the kernel and the destination probabilities are evaluated, considering geometric, discrete-Weibull and Pareto distributed sojourn times. Useful results are obtained for forecasting purposes. A new Viterbi algorithm for hidden semi-Markov models is constructed, whose complexity is a linear function of the number of observations and a quadratic function of the number of hidden states, the lowest existing in the literature. Furthermore, an extension of this new algorithm is introduced for the case that an observation depends on the corresponding hidden state but also on the previous observation (SM1-M1 case). Different hidden semi-Markov models (HSMMs) are applied for the study of the North and South Aegean Sea. The earthquake magnitudes and locations comprise the observation sequence and the new Viterbi algorithm is implemented in order to decode the hidden stress field associated with seismogenesis. Precursory phases (variations of the hidden stress field) were detected warning for an anticipated earthquake occurrence for 70 out of 88 cases (the optimal model’s score). The sojourn times of the hidden process were assumed to follow Poisson, logarithmic or negative binomial distributions, whereas the hidden stress levels were classified into 2, 3 or 4 states. HMMs were also adapted without presenting significant results as for the precursory phases. A generalized Viterbi algorithm for HSMMs is constructed in the sense that now transitions to the same hidden state are allowed and can also be decoded. Furthermore, an extension of this generalized algorithm in the SM1-M1 context is given. We also modify adequately the Cramér-Lundberg model considering negative and positive claims, in order to describe the evolution in time of the Coulomb failure function changes (ΔCFF values) computed at the locations of seven strong (M ≥ 6) earthquakes of the North Aegean Sea. Ruin probability formulas are derived and proved in a general form. Corollaries are also formulated for the exponential and the Pareto distribution. The aim is to shed light to the following problem posed by the seismologists: During a specific year why did an earthquake occur at a specific location and not at another location in seismotectonically homogeneous areas with positive ΔCFF values (stress enhanced areas). The results demonstrate that the new probability formulas can contribute in answering the aforementioned question.

Σκοπός της διατριβής είναι η ανάπτυξη νέων μαθηματικών μεθόδων και η εφαρμογή μαθηματικών μοντέλων για την εκτίμηση της σεισμικής επικινδυνότητας στην Ελλάδα. Θεωρήσαμε διαφορετικά ημι-Μαρκοβιανά μοντέλα για τη μελέτη της σεισμικότητας στην περιοχή του Ιονίου και του Βόρειου Αιγαίου πελάγους. Εκτιμήθηκαν οι πιθανότητες του πίνακα πυρήνα καθώς και οι πιθανότητες προορισμού, υποθέτοντας ότι οι ενδιάμεσοι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών σεισμών ακολουθούν γεωμετρικές, διακριτές Weibull ή Pareto κατανομές και εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα για την αναμενόμενη σεισμικότητα των περιοχών που εξετάστηκαν. Κατασκευάστηκε ένας νέος αλγόριθμος Viterbi για κρυφά ημι-Μαρκοβιανά μοντέλα, η πολυπλοκότητα του οποίου είναι η μικρότερη ανάμεσα σε αλγορίθμους αυτού του είδους, δηλαδή γραμμική συνάρτηση ως προς των αριθμό των παρατηρήσεων και τετραγωνική συνάρτηση ως προς τον αριθμό των κρυφών καταστάσεων. Επιπλέον παρέχεται και μια επέκταση του αλγορίθμου για την περίπτωση όπου μια παρατήρηση εξαρτάται από την αντίστοιχη κρυφή κατάσταση αλλά και από την προηγούμενη παρατήρηση (μοντέλο SM1-M1). Εφαρμόζονται διαφορετικά κρυφά ημι-Μαρκοβιανά μοντέλα για τη μελέτη της σεισμικότητας του Βόρειου και Νότιου Αιγαίου πελάγους. Η ακολουθία των παρατηρήσεων αποτελείται από τα μεγέθη και τη θέση των σεισμών ενώ ο νέος αλγόριθμος Viterbi εφαρμόστηκε για την αποκωδικοποίηση του κρυφού πεδίου της τάσης το οποίο σχετίζεται με τη γένεση σεισμών. Εντοπίστηκαν πρόδρομες περίοδοι (περίοδοι με διαφοροποιήσεις στο κρυφό επίπεδο της τάσης) που προειδοποιούν για έναν επερχόμενο σεισμό για 70 από τις 88 περιπτώσεις (βέλτιστο αποτέλεσμα). Οι ενδιάμεσοι χρόνοι της κρυφής αλυσίδας θεωρήθηκε ότι ακολουθούν κατανομές Poisson, λογαριθμικές ή αρνητικές διωνυμικές, ενώ τα κρυφά επίπεδα της τάσης κατηγοριοποιήθηκαν σε 2, 3 ή 4 καταστάσεις. Αναπτύχθηκαν και κρυφά Μαρκοβιανά μοντέλα τα οποία δεν παρουσιάζουν αξιοποιήσιμα αποτελέσματα ως προς τις πρόδρομες φάσεις πριν από την εκδήλωση σεισμών. Κατασκευάστηκε ένας γενικευμένος αλγόριθμος Viterbi για κρυφά ημι-Μαρκοβιανά μοντέλα όπου τώρα επιτρέπονται και μπορούν να αποκωδικοποιηθούν και οι μεταβάσεις στην ίδια κατάσταση. Επιπλέον παρέχεται και η επέκταση αυτού του αλγορίθμου για την περίπτωση SM1-M1. Τροποποιήθηκε κατάλληλα το μοντέλο Cramér-Lundberg θεωρώντας θετικά και αρνητικά άλματα ώστε να μπορεί να περιγράψει την εξέλιξη στο χρόνο των μεταβολών της συνάρτησης Coulomb (ΔCFF) που υπολογίστηκαν στις θέσεις εφτά μεγάλων (Μ ≥ 6) σεισμών στο Βόρειο Αιγαίο. Ορίστηκαν και αποδείχτηκαν γενικοί τύποι για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων καταστροφής καθώς και πορίσματα για την εκθετική και Pareto κατανομή με σκοπό να διερευνηθεί ένα πρόβλημα που τίθεται από τους σεισμολόγους: Κατά τη διάρκεια ενός έτους γιατί ένας σεισμός λαμβάνει χώρα σε ένα συγκεκριμένο σημείο και όχι σε κάποιο άλλο, σε σεισμοτεκτονικά ομοιογενείς περιοχές με θετικές τιμές ΔCFF. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι οι πιθανότητες καταστροφής μπορούν να συνεισφέρουν στην απάντηση αυτού του ερωτήματος.