Non-linear homogenization theories with applications to TRIP steels

Abstract

This work is concerned with the development of a general model for N-phase isotropic, incompressible, rate-independent elasto-plastic materials at finite strains. The model is based on the nonlinear homogenization variational (or modified secant) method which makes use of a linear comparison composite (LCC) material to estimate the effective flow stress of the nonlinear composite material. The homogenization approach leads to an optimization problem which needs to be solved numerically for the general case of a N-phase composite. In the special case of a two-phase composite an analytical result is obtained for the effective flow stress of the elasto-plastic composite material. Next, the model is validated by periodic three-dimensional unit cell calculations comprising a large number of spherical inclusions (of various sizes and of two different types) distributed randomly in a matrix phase. We find that the use of the lower Hashin-Shtrikman bound for the LCC gives the best predictions by comparison with the unit cell calculations for both the macroscopic stress-strain response as well as for the average strains in each of the phases. The formulation is subsequently extended to include hardening of the different phases. Furthermore, a method for the numerical integration of the resulting constitutive equations in the context of a displacement driven finite element formulation is developed. The constitutive model is, then, implemented in a general-purpose finite element program. Interestingly, the model is found to be in excellent agreement even in the case where each of the phases follows a rather different hardening response. The homogenization theory is also used to develop a constitutive model for the mechanical behavior of multiphase TRIP steels. The calibration of the model is based on uniaxial tension tests on TRIP steels. The problems of plastic flow localization and necking in tension are analyzed in detail. The constitutive model is used also for the calculation of "forming limit diagrams" for sheets made of TRIP steels; it is found that the TRIP effect increases the necking localization strains.

Αντικείμενο της παρούσας Διατριβής αποτελεί η ανάπτυξη ενός μοντέλου ομογενοποίησης για ισότροπα, ασυμπίεστα ελαστοπλαστικά σύνθετα υλικά με N φάσεις. Το μοντέλο στηρίζεται στη μεθοδολογία ομογενοποίησης για μη-γραμμικά σύνθετα υλικά, η οποία κάνει χρήση ενός γραμμικού σύνθετου υλικού συγκρίσεως (linear comparison composite) για τον προσδιορισμό του μακροσκοπικού ορίου διαρροής του μη-γραμμικού σύνθετου υλικού. Η συγκεκριμένη προσέγγιση οδηγεί σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης, το οποίο για τη γενική περίπτωση του σύνθετου υλικού με N φάσεις μπορεί να λυθεί μόνο αριθμητικά. Στην ειδική περίπτωση ενός διφασικού σύνθετου υλικού, το πρόβλημα λύνεται αναλυτικά. Τα αποτελέσματα του προτεινόμενου μοντέλου επαληθεύτηκαν με προσομοιώσεις τρισδιάστατων μοναδιαίων κελιών, τα οποία περιέχουν μία τυχαία κατανομή ενός μεγάλου αριθμού σφαιρικών σωματιδίων. Έμφαση δίνεται στο γεγονός ότι η χρήση του κάτω ορίου των Hashin-Shtrikman για το μη-γραμμικό σύνθετο υλικό συγκρίσεως (LCC) δίνει την καλύτερη ακρίβεια αποτελεσμάτων όχι μόνο ως προς το μακροσκοπικό όριο διαρροής του σύνθετου υλικού αλλά και ως προς τη συγκέντρωση της παραμόρφωσης στις επιμέρους φάσεις. Επίσης, παρουσιάζεται η μεθοδολογία για την αριθμητική ολοκλήρωση των μη-γραμμικών καταστατικών εξισώσεων σε ένα περιβάλλον πεπερασμένων στοιχείων και η εισαγωγή του καταστατικού μοντέλου σε πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι οι προβλέψεις του μοντέλου βρίσκονται σε εξαιρετική συμφωνία με τους υπολογισμούς των μοναδιαίων κελιών ακόμη και στην περίπτωση που οι επιμέρους φάσεις του σύνθετου υλικού έχουν τελείως διαφορετική καμπύλη σκλήρυνσης. Στη συνέχεια η θεωρία της ομογενοποίησης χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη ενός καταστατικού μοντέλου για τη μηχανική συμπεριφορά χαλύβων TRIP. Οι χάλυβες TRIP είναι σύνθετα υλικά στα οποία τα κλάσματα όγκου των επιμέρους φάσεων μεταβάλλονται, λόγω του μετασχηματισμού του παραμένοντα ωστενίτη σε μαρτενσίτη. Για τη βαθμονόμηση του καταστατικού μοντέλου χρησιμοποιήθηκαν πειραματικά δεδομένα από δοκιμασίες μονοαξονικού εφελκυσμού σε πειραματικό χάλυβα TRIP. Το καταστατικό μοντέλο μαζί με τους αλγόριθμους ενσωμάτωσης σε πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση χαρακτηριστικών προβλημάτων που περιλαμβάνουν χάλυβες TRIP, όπως είναι ο υπολογισμός των «Διαγραμμάτων Ορίων Διαμορφώσεως» σε λεπτά ελάσματα, τα οποία θεωρούμε ότι παραμορφώνονται σε συνθήκες επίπεδης εντατικής καταστάσεως.