Ανάλυση μη γραμμικών συστημάτων σε πεπερασμένους χώρους φάσεων

Abstract

The study of coupled multi-field nonlinear systems with infinite degrees of freedom and damping is a topic of high interest in structural dynamics in general, and in the design stage in particular. In this thesis we present a new methodology to derive optimal reduced order models for such systems with concentration on the elastodynamics, using the method of Proper Orthogonal Decomposition, POD. A representative example for such systems is an elastic Cosserat rod in planar motion. The dynamics of such systems can be described by a small number of orthogonal degrees of freedom, which indirectly implies the existence of low order invariant subspaces. The reduced order models are derived by projecting the full order-nonlinear-coupled equations of motion of the rod over the Proper Orthogonal Modes of the system dynamics. Using this methodology, reduced order models of one, two and three orthogonal degrees of freedom are derived, to predict the dynamics at low frequencies. These models are considered optimal reduced order models. The derived models are systems of coupled nonlinear oscillators; the nonlinearities are geometric, and represented by nonlinear integrals. The systematic examination of these models shows their capabilities to predict the system dynamics at low frequencies.

Η μελέτη μη γραμμικών συστημάτων απείρων βαθμών ελευθερίας με απόσβεση, των οποίων η κίνηση προσδιορίζεται από συζευγμένα πολλαπλά πεδία αποτελεί θέμα μεγάλης σημασίας στη δυναμική κατασκευών κυρίως λόγω της χρήσης τους σε κατασκευαστικό επίπεδο. Στη διατριβή αυτή παρουσιάζεται ένας τρόπος παραγωγής βέλτιστων μειωμένων μοντέλων για τέτοια συστήματα στην περιοχή της Ελαστοδυναμικής, με χρήση της μεθόδου Proper Orthogonal Decomposition (POD). Αντιπροσωπευτικό δείγμα τέτοιων συστημάτων αποτελεί η επίπεδη ελαστική ράβδος Cosserat όπου η δυναμική περιγράφεται από μικρό αριθμό ορθοκανονικών βαθμών ελευθερίας, οι οποίοι υποδηλώνουν έμμεσα την παρουσία αμετάβλητων υπόχωρων χαμηλής διάστασης. Η παραγωγή μοντέλων μειωμένης τάξης στηρίχθηκε στον περιορισμό των μη γραμμικών συζευγμένων εξισώσεων της κίνησης του πλήρους τάξης συστήματος πάνω στους άγνωστους αμετάβλητους υπόχωρους της δυναμικής που αναγνωρίστηκαν μέσω της μεθόδου POD ή μέθοδος των Ορθοκανονικών προβολών. Αναπτύχθηκαν έτσι μειωμένης τάξης μοντέλα ενός, δύο και τριών Ορθοκανονικών βαθμών ελευθερίας για την πρόβλεψη της δυναμικής χαμηλής συχνότητας. Τα μοντέλα αυτά αποτελούν βέλτιστα μοντέλα μειωμένης τάξης. Τα μοντέλα αυτά είναι συστήματα μη γραμμικών ταλαντωτών με γεωμετρική μη γραμμικότητα ολοκληρωματικού τύπου, η μελέτη των οποίων επιβεβαιώνει την εικασία ότι οι υπόχωροι που σχετίζονται με τους κυρίαρχους Ορθοκανονικούς τρόπους, αναπαριστούν αμετάβλητους υπόχωρους της δυναμικής μέσα στους οποίους ανήκουν οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης.