Ροές αερίων σε αγωγούς ποικίλων διατομών σε όλο το εύρος του αριθμού knudsen με ντετερμινιστικές και στοχαστικές διαδικασίες

Abstract

During the last decade research in rarefied gas dynamics has attracted a lot of attention. This refreshed interest is due to applications in the emerging field of nano- and micro-fluidics, as well as to the more traditional fields of vacuum technology under low, medium and high vacuum conditions and high altitude aerodynamics. Some of these applications may include mass flow controllers in gas metering, micro propulsion nozzles in high altitude and space gas dynamics, pipe networks, pumps and distillation towers in vacuum systems, membranes and porous media in filtering, fabrication processes in microelectronics and gaseous devices in micro-electromechanical systems. It is noted that gas flows through channels of various cross sections may be basic elements of all these equipments. The gas rarefaction is specified by the Knudsen number (Kn), which is defined as the ratio of the mean free path over a characteristic macroscopic length of the problem. In general, when the flow is considered as far from local equilibrium, then the well known hydrodynamic equations cannot be applied since the continuum assumption and the associated constitutive laws are not valid anymore. In these cases two main approaches can be implemented in order to solve problems in the whole range of the Knudsen number. The first approach is based on the kinetic theory as expressed by the Boltzmann equation or its associated kinetic models. The main unknown is the distribution function, which obeys a kinetic equation, while all the macroscopic quantities of practical interest are obtained by the moments of the distribution function. In many occasions kinetic model equations are very reliable and can be used as an alternative to the Boltzmann equation, producing accurate results with much less computational effort. Typical examples are the BGK and Shakhov models for isothermal and non-isothermal flows respectively. The second approach is the Direct Simulation Monte Carlo (DSMC) method, which actually circumvents the direct solution of a kinetic equation and over the years it has been found to be very efficient in solving high speed flows. It is noted that the DSMC method recovers the solution of Boltzmann equation in the limit of vanishing discretization. Both approaches may be used in the case of rarefied flows through channels. When the flow is very slow or when the channel is adequate long, then the flow is fully developed (no variation in the flow direction) and can be handled by applying linear kinetic theory. When the channel is short, end effects cannot be neglected and the flow becomes non linear. Then, the most efficient approach is the DSMC method. Within the above framework, the present Ph.D. thesis is focused on the investigation of rarefied gas flow through long and short channels of various cross sections (cylindrical, annular cylindrical, orthogonal, triangular and trapezoidal), using kinetic equations and he DSMC method. In the former approach, the linear BGK kinetic model is solved using the Discrete Velocity Method (DVM) is applied, which has been extensively used over the years with considerable success in the solution of the Boltzmann equation or of reliable kinetic models. It is characterized by the deterministic discretization of the kinetic equations in the physical and molecular velocity spaces. In the latter approach, an upgraded version of the DSMC algorithm based on the Non Time Counter Scheme is used. This is a probabilistic scheme. The fundamental idea of the method is to track a large number of statistically representative particles. The primary approximation of DSMC is to uncouple the molecular motion and the intermolecular collisions over small time intervals. Particle motions are modeled deterministically, while the collisions are treated statistically. The core of the DSMC algorithm consists of four primary processes: free particle motion, index and cross-reference of the particles, simulation of collisions, and sampling of the flow field.

Την τελευταία δεκαετία έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον έχει εκδηλωθεί στο πεδίο της δυναμικής των αραιοποιημένων αερίων. Η στροφή της επιστημονικής κοινότητας προς την κατεύθυνση αυτή οφείλεται κυρίως στην εμφάνιση νέων τεχνολογιών και εφαρμογών που περιλαμβάνουν μεταξύ άλλων την τεχνολογία χαμηλού, μέσου και υψηλού κενού, την αεροδιαστημική μεγάλων υψομέτρων και τέλος την νανοτεχνολογία. Η αραιοποίηση ενός αερίου καθορίζεται από τον αριθμό Knudsen (Kn), ο οποίος ορίζεται ως το πηλίκο της μέσης ελεύθερης διαδρομής των μορίων του αερίου προς ένα χαρακτηριστικό μήκος του εκάστοτε προβλήματος. Εν γένει, σε ροές μακριά από την θερμοδυναμική ισορροπία, η θεωρία του συνεχούς μέσου καταρρέει και οι γνωστές υδροδυναμικές και καταστατικές εξισώσεις παύουν να ισχύουν. Στις περιπτώσεις αυτές η αντιμετώπιση του προβλήματος βασίζεται στην Κινητική Θεωρία των αερίων, η οποία περιλαμβάνει δύο βασικές προσεγγίσεις για την επίλυση σε όλο το εύρος του αριιθμού Knudsen. Η πρώτη προσέγγιση βασίζεται στην κινητική θεωρία, όπως αυτή εκφράζεται μέσω της εξίσωσης Boltzmann ή των αντίστοιχων κινητικών μοντέλων. Ο βασικός άγνωστος είναι η συνάρτηση κατανομής, ενώ οι μακροσκοπικές ποσότητες που ενδιαφέρουν προκύπτουν από διάφορες ροπές της συνάρτησης κατανομής. Τονίζεται ότι σε αρκετές εφαρμογές τα κινητικά μοντέλα αποδεικνύονται αρκετά αξιόπιστα και είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν ως εναλλακτική επιλογή της εξίσωσης Boltzmann, έχοντας ακριβή αποτελέσματα με λιγότερο υπολογιστικό κόστος σε όλο το εύρος του αριθμού Kn. Χαρακτηριστικά παραδείγματα κινητικών μοντέλων είναι το BGK και το Shakhov για ισοθερμοκρασιακές και μη ισοθερμοκρασιακές ροές αντίστοιχα. Η δεύτερη προσέγγιση είναι η μέθοδος Direct Simulation Monte Carlo (DSMC), η οποία παρακάμπτει την επίλυση της εξίσωσης Boltzmann και έχει αποδειχθεί ότι είναι πολύ αποτελεσματική σε περιπτώσεις γρήγορων ροών. Οι δύο παραπάνω προσεγγίσεις χρησιμοποιούνται για την επίλυση αραιοποιημένων ροών διαμέσου αγωγών. Στην περίπτωση αργών ροών ή όταν το μήκος των αγωγών είναι αρκετά μεγάλο, τότε η ροή είναι πλήρως ανεπτυγμένη και περιγράφεται από τη γραμμική κινητική θεωρία. Στην περίπτωση αγωγών πεπερασμένου μήκους, τα φαινόμενα των άκρων δεν μπορούν να αγνοηθούν και η ροή είναι μη γραμμική. Τότε για την επίλυση τέτοιων ροών η πιο αποδοτική μέθοδος είναι η μέθοδος DSMC. Στο πλαίσιο αυτό η παρούσα διδακτορική διατριβή εστιάζεται στην μελέτη ροών αραιοποιημένων αερίων σε αγωγούς μικρού και μεγάλου μήκους με ποικίλες διατομές (κυλινδρική, δακτυλοειδή, ορθογώνια, τριγωνική και τραπεζοειδή) εφαρμόζοντας ντετερμινιστικές και στοχαστικές μεθοδολογίες αντίστοιχα. Η πρώτη προσέγγιση βασίζεται στην επίλυση του γραμμικού κινητικού μοντέλου BGK με την χρήση της μεθόδου των διακριτών ταχυτήτων (Discrete Velocity Method - DVM), η οποία έχει εφαρμοστεί με επιτυχία στην επίλυση της εξίσωσης Boltzmann ή των αντίστοιχων κινητικών μοντέλων. Η μέθοδος DVM χαρακτηρίζεται από την ντετερμινιστική διακριτοποίηση των κινητικών εξισώσεων στον φυσικό χώρο και στον χώρο των μοριακών ταχυτήτων. Στην τελευταία προσέγγιση γίνεται χρήση ενός αναβαθμισμένου αλγορίθμου της μεθόδου DSMC, ο οποίος βασίζεται στο μοντέλο Non Time Counter για την μοντελοποίηση των μοριακών συγκρούσεων. Η μέθοδος DSMC αποτελεί μια στοχαστική μεθοδολογία. Η θεμελιώδης ιδέα της μεθόδου έγκειται στην μοντελοποίηση ενός στατιστικά μεγάλου αριθμού σωματιδίων. Η βασική προσέγγιση της μεθόδου DSMC είναι ο διαχωρισμός της ελεύθερης κίνησης των σωματιδίων μοντελοποιείται ντετερμινιστικά, ενώ οι μοριακές συγκρούσεις μοντελοποιούνται στοχαστικά. Ο πυρήνας του αλγορίθμου της μεθόδου DSMC αποτελείται από τέσσερεις βασικές διαδικασίες: α) την ελεύθερη κίνηση των σωματιδίων, β) την μετονομασία των σωματιδίων, γ) την μοντελοποίηση των μοριακών συγκρούσεων και δ) τον υπολογισμό των μακροσκοπικών ποσοτήτων. Τα τέσσερα παραπάνω βήματα πραγματοποιούνται ανεξάρτητα σε κάθε χρονικό βήμα.