Weighted extrapolation for compact operators

Abstract

Rubio de Francia's extrapolation theorem constitutes a powerful result in the theory of weighted norm inequalities, which is a subarea of Harmonic Analysis. It allows one to deduce an inequality (often but not necessarily: the boundedness of an operator) on all weighted Lp spaces with a range of p, by checking it just for one exponent p (but all relevant weights). The main goal of this dissertation is to show analogous methods for extrapolation of compactness. The dissertation consists of an introductory part and three research articles. Our frameworks are the weighted Lebesgue and weighted Morrey spaces. In the first article we provide extrapolation of compactness for linear operators on weighted Lebesgue spaces. Several generalizations of this result such as off-diagonal and limited range extrapolation of compactness are proved as well. In the second article a bilinear extension of the main result of the first article is considered. In addition, we discuss more general results which deal with multilinear operators. The final article extends the first one to the setting of weighted Morrey spaces. Regarding the applications of all articles, in a relatively soft way, our methods recover several recent results and also give some new ones about compactness of commutators of linear and bilinear singular integrals, fractional integrals and multipliers on weighted spaces.

Το θεώρημα παρεκβολής του Rubio de Francia αποτελεί ένα ισχυρό αποτέλεσμα στη θεωρία των ανισοτήτων σταθμισμένων νορμών, η οποία αποτελεί υποπεριοχή της Αρμονικής Ανάλυσης. Επιτρέπει την εξαγωγή μιας ανισότητας (συχνά, αλλά όχι κατ’ ανάγκην: την φραγμότητα ενός τελεστή) σε όλους τους σταθμισμένους χώρους Lp για ένα εύρος τιμών του p, ελέγχοντάς την μόνο για έναν εκθέτη p (αλλά για όλα τα σχετικά βάρη). Κύριος στόχος της παρούσας διατριβής είναι η παρουσίαση ανάλογων μεθόδων για την παρεκβολή της συμπαγότητας. Η διατριβή αποτελείται από ένα εισαγωγικό μέρος και τρία ερευνητικά άρθρα. Τα πλαίσια που εξετάζουμε είναι οι σταθμισμένοι χώροι Lebesgue και οι σταθμισμένοι χώροι Morrey. Στο πρώτο άρθρο παρέχουμε παρεκβολή της συμπαγότητας για γραμμικούς τελεστές σε σταθμισμένους χώρους Lebesgue. Αποδεικνύονται επίσης διάφορες γενικεύσεις αυτού του αποτελέσματος, όπως η εκτός-διαγωνίου και περιορισμένου εύρους παρεκβολή συμπαγότητας. Στο δεύτερο άρθρο εξετάζεται μια διγραμμική επέκταση του κύριου αποτελέσματος του πρώτου άρθρου. Επιπλέον, συζητούμε πιο γενικά αποτελέσματα που αφορούν πολυγραμμικούς τελεστές. Το τελευταίο άρθρο επεκτείνει το πρώτο στο πλαίσιο των σταθμισμένων χώρων Morrey. Όσον αφορά τις εφαρμογές όλων των άρθρων, με σχετικά ήπιο τρόπο, οι μέθοδοι μας ανακτούν αρκετά πρόσφατα αποτελέσματα και παρέχουν επίσης ορισμένα νέα σχετικά με τη συμπαγότητα μεταθετών γραμμικών και διγραμμικών ιδιάζοντων ολοκληρωμάτων, κλασματικών ολοκληρωμάτων και πολλαπλασιαστών σε σταθμισμένους χώρους.