Analytical and numerical aspects of tomography

Abstract

The Boundary Control (BC) Method was originally formulated with respect to hyperbolic inverse problems. We extend this powerful method to elliptic and parabolic problems. In particular, by considering Boundary Value Problems as edge problems, we extend the functional analytic version of BC from commutative C* algebras to noncommutative ones, through the use of a suitably chosen pseudodifferential calculus for singular manifolds. We then apply this extended BC to the open Calder´on conjecture, presenting a multitude of cases where the uniqueness argument holds. Via the pseudodifferential calculus extension to higher singularities by an iteration process, the extended BC is applied to the reconstruction of a Riemannian polyhedron. We also show that for the standard (hyperbolic) BC the interface and corner detection of a Riemannian polyhedron can be achieved by introducing appropriate notions from physics (e.g. waveguides and 4-wave-mixing). For Electrical Impedance Tomography, i.e., for the 2D case of the Calder´on problem, a novel algorithm is constructed that is simpler and faster compared to the well-known D-bar method, which is based on Complex Geometric Optics solutions.The following algorithms are implemented in the tomographic, extensively used library, Software for Tomographic Image Reconstruction (STIR): two 2D Positron Emission Tomography (PET), two 2D Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT), and one 3D PET. These algorithms serve as templates for how to include in the library analytic reconstruction algorithms, without the need to extensively study the library. The PET algorithms constitute strong alternatives to STIR’s existing filtered back-projection PET algorithms in terms of image quality and/or speed, while the SPECT algorithms are the first of their kind within the library.

Η μέθοδος Boundary Control (BC) αρχικά διατυπώθηκε σε σχέση με υπερβολικά αντίστροφα προβλήματα. Επεκτείνουμε αυτήν την ισχυρή μέθοδο σε ελλειπτικά και παραβολικά προβλήματα. Συγκεκριμένα, αντιμετωπίζοντας τα Προβλήματα Συνοριακών Τιμών ως προβλήματα ακμών, γενικεύουμε την εκδοχή της μεθόδου BC στο πλαίσιο της συναρτησιακής ανάλυσης από μεταθετικές C*-άλγεβρες σε μη-μεταθετικές, μέσω της χρήσης ενός κατάλληλα επιλεγμένου ψευδοδιαφορικού λογισμού για πολλαπλότητες με ιδιομορφίες. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε την επεκταθείσα μέθοδο BC στο ανοικτό πρόβλημά Calderón, παρουσιάζοντας πληθώρα περιπτώσεων όπου ισχύει το επιχείρημα μοναδικότητας. Mε επέκταση του ψευδοδιαφορικού λογισμού σε υψηλότερης τάξης ιδιομορφίες, μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας, η επεκταθείσα μέθοδος BC εφαρμόζεται στην ανακατασκευή ενός ριμάνειου (Riemannian) πολυέδρου. Τέλος, δείχνουμε ότι με την τυπική (υπερβολική) μέθοδο BC, η ανίχνευση διεπιφανειών και γωνιών ενός ριμάνειου πολυέδρου μπορεί να επιτευχθεί εισάγοντας κατάλληλες έννοιες από τη φυσική, όπως κυματοδηγούς και μίξη τεσσάρων κυμάτων (4-wave-mixing). Για την Τομογραφία Ηλεκτρικής Εμπέδησης (Electrical Impedance Tomography), δηλαδή για τη δισδιάστατη περίπτωση του προβλήματος Calderón, κατασκευάζεται ένας νέος αλγόριθμος που είναι απλούστερος και ταχύτερος σε σύγκριση με την ευρέως γνωστή μέθοδο D-bar, η οποία βασίζεται σε λύσεις Μιγαδικής Γεωμετρικής Οπτικής (CGO). Οι ακόλουθοι αλγόριθμοι έχουν υλοποιηθεί στην ευρέως χρησιμοποιούμενη βιβλιοθήκη τομογραφικής ανακατασκευής εικόνων, Software for Tomographic Image Reconstruction (STIR): δύο αλγόριθμοι για δισδιάστατη Τομογραφία Εκπομπής Ποζιτρονίων (Positron Emission Tomography – PET), δύο αλγόριθμοι για δισδιάστατη Τομογραφία Εκπομπής Μονήρων Φωτονίων (Single Photon Emission Computed Tomography – SPECT), καθώς και ένας αλγόριθμος για τρισδιάστατη PET. Οι αλγόριθμοι αυτοί λειτουργούν ως πρότυπα για την εισαγωγή αναλυτικών αλγορίθμων ανακατασκευής στη βιβλιοθήκη, χωρίς να απαιτείται εκτενής μελέτη του κώδικά της. Οι αλγόριθμοι PET αποτελούν ισχυρές εναλλακτικές έναντι των ήδη υπαρχόντων αλγορίθμων PET στη STIR που βασίζονται σε φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (filtered back-projection), από άποψη ποιότητας εικόνας ή/και ταχύτητας, ενώ οι αλγόριθμοι SPECT αποτελούν τους πρώτους στο είδος τους εντός της βιβλιοθήκης.