Advanced methods for confined flows in varying geometries

Abstract

The doctoral dissertation focuses on the theoretical and analytical study of Newtonian and viscoelastic fluid flows in channels and pipes with varying geometries. For the first time, it establishes a unified framework that incorporates three advanced and powerful methodological approaches: the high-order domain perturbation method, the fully spectral method, and the similarity solution method. Although the latter is already well known in the scientific community, the dissertation highlights its significance as a tool for complexity reduction and for revealing fundamental flow characteristics through appropriate variable transformations. These methodologies were selected and applied due to their ability to solve complex fluid dynamics problems with high accuracy, to yield analytical or semi-analytical solutions, and to uncover essential physical phenomena, particularly in environments with strong nonlinearity or geometric complexity. The fully spectral method enables the resolution of nonlinear differential equations with near machine-level precision, while similarity solutions serve as a powerful tool for reducing problem complexity. Initially, the dissertation presents the three main approaches for solving differential equations—perturbation theory, the fully spectral method, and similarity solutions. It then investigates steady, isothermal, and incompressible flows of Oldroyd-B type viscoelastic fluids in channels and pipes with slowly varying geometry, using lubrication theory. Four independent methods for deriving the pressure gradient are presented, which are shown to be partially equivalent and confirm the ability to reproduce known results for Newtonian fluids in the creeping flow limit. The analysis is further extended to axisymmetric pipes, demonstrating the generality of the methodology. A comparison is then made between classical lubrication theory and the domain perturbation method in channels with fixed but varying walls. The analysis proceeds up to 8th and 4th order, respectively, revealing the convergence of the solutions and achieving high accuracy in critical applications such as the computation of the average pressure drop for a given flow rate. Accuracy is further enhanced through convergence acceleration techniques. Furthermore, the steady flow of a Newtonian fluid in long pipes with symmetric geometry and wall slip is examined. Using high-order lubrication theory, analytical solutions are derived up to the 20th order with respect to the aspect ratio. A boundary layer is identified at the inlet, and the effects of geometry and slip coefficient on the velocity field and average pressure drop are studied. The effect of inertia is explored in flows within confined channels with varying walls. The resulting nonlinear flow equation is solved in three ways: asymptotically (with respect to the Reynolds number), fully spectrally, and using hybrid spectral-differential methods. The results show that inertia increases the required average pressure drop and significantly affects the flow in highly contracting geometries. In linearly varying geometries, an equivalence with similarity solutions arises, which is confirmed both theoretically and numerically. The work is further extended to derive accurate analytical solutions for Oldroyd-B type viscoelastic fluids in channels and pipes with severely contracting geometries. For planar channels, a similarity solution is obtained for finite Deborah numbers through a nonlinear ordinary differential equation related to a modified velocity field. For cylindrical pipes, a semi-numerical spectral method using Legendre polynomials is employed, achieving machine-level precision. The impact of the Deborah number, the polymer viscosity ratio, and the contraction ratio on the average pressure drop is analyzed, revealing that increased elasticity can enhance the rheological performance of the flow in such geometries. Comparisons with planar geometries highlight the influence of geometry on flow behavior. In summary, the dissertation presents significant theoretical and computational results that enable the optimization of fluid dynamics system design. Applications extend to microfluidic and industrial devices, where high-accuracy prediction of flow behavior and average pressure drop are required.

Η διδακτορική διατριβή πραγματεύεται τη θεωρητική και αναλυτική μελέτη της ροής Νευτώνειων και ιξωδοελαστικών ρευστών σε κανάλια και σωλήνες με μεταβαλλόμενη γεωμετρία, θέτοντας για πρώτη φορά σε ενιαία βάση τρεις προηγμένες και ισχυρές μεθοδολογικές προσεγγίσεις: την υψηλής τάξης μέθοδο διαταραχής των συνοριακών συνθηκών, την πλήρως φασματική μέθοδο και τη μέθοδο λύσεων ομοιότητας. Αν και η τελευταία είναι ήδη γνωστή στην επιστημονική κοινότητα, η διατριβή αναδεικνύει τη σημασία της ως εργαλείου μείωσης της πολυπλοκότητας και αποκάλυψης θεμελιωδών χαρακτηριστικών της ροής, μέσω κατάλληλων μετασχηματισμών μεταβλητών. Οι μεθοδολογίες αυτές επιλέχθηκαν και εφαρμόστηκαν λόγω της ικανότητάς τους να επιλύουν πολύπλοκα προβλήματα ρευστοδυναμικής με υψηλή ακρίβεια, να οδηγούν σε αναλυτικές ή ημι-αναλυτικές λύσεις και να αποκαλύπτουν βασικά φυσικά φαινόμενα, ιδίως σε περιβάλλοντα με έντονη μη-γραμμικότητα ή γεωμετρική πολυπλοκότητα. Η πλήρως φασματική μέθοδος επιτρέπει την επίλυση μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με ακρίβεια που προσεγγίζει αυτή της αριθμητικής μηχανής, ενώ οι λύσεις ομοιότητας αποτελούν ισχυρό εργαλείο μείωσης της πολυπλοκότητας. Αρχικά, παρουσιάζονται οι τρεις βασικές προσεγγίσεις για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων (θεωρία διαταραχών, πλήρως φασματικη μέθοδος, λύση ομοιότητας). Στη συνέχεια, εξετάζεται η σταθερή, ισόθερμη και ασυμπίεστη ροή ιξωδοελαστικών ρευστών τύπου Oldroyd-B σε κανάλια και σωλήνες με αργά μεταβαλλόμενη γεωμετρία, μέσω της θεωρίας λίπανσης. Παρατίθενται τέσσερις ανεξάρτητες μέθοδοι εξαγωγής της βαθμίδας πίεσης, οι οποίες αποδεικνύονται εν μέρει ισοδύναμες και επιβεβαιώνουν τη δυνατότητα αναπαραγωγής γνωστών αποτελεσμάτων για Νευτώνεια ρευστά στο όριο της ερπυστικής ροής. Η ανάλυση επεκτείνεται και σε αξονοσυμμετρικά συστήματα, καταδεικνύοντας τη γενικότητα της μεθοδολογίας. Έπειτα, συγκρίνονται η κλασική θεωρία λίπανσης και η μέθοδος διαταραχής των συνόρων σε κανάλια με σταθερό αλλά μεταβαλλόμενο τοίχωμα. Η ανάλυση φτάνει έως την 8η και 4η τάξη, αντίστοιχα, αποκαλύπτοντας τη σύγκλιση των λύσεων και επιτυγχάνοντας υψηλή ακρίβεια σε κρίσιμες εφαρμογές, όπως ο υπολογισμός της μέσης πτώσης πίεσης για δεδομένη παροχή. Η ακρίβεια ενισχύεται περαιτέρω μέσω τεχνικών επιτάχυνσης της σύγκλισης. Επιπλέον, διερευνάται η μόνιμη ροή Νευτώνειου ρευστού σε μακρούς σωλήνες με συμμετρική γεωμετρία και παρουσία ολίσθησης στα τοιχώματα. Με τη χρήση θεωρίας λίπανσης υψηλής τάξης, εξάγονται αναλυτικές λύσεις έως και την 20ή τάξη ως προς τον λόγο διαστάσεων. Εντοπίζεται οριακό στρώμα στην είσοδο, και μελετάται η επίδραση της γεωμετρίας και του συντελεστή ολίσθησης στο πεδίο ταχυτήτων και στην πτώση πίεσης. Η επίδραση της αδράνειας εξετάζεται σε ροές εντός περιορισμένων καναλιών με μεταβαλλόμενα τοιχώματα. Η μη γραμμική εξίσωση ροής που προκύπτει επιλύεται με τρεις τρόπους: ασυμπτωτικά (ως προς τον αριθμό Reynolds), πλήρως φασματικά και με μικτές φασματικές-διαφορικές μεθόδους. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η αδράνεια αυξάνει την απαιτούμενη μέση πτώση πίεσης και επηρεάζει σημαντικά τη ροή σε γεωμετρίες με έντονη συστολή. Σε γραμμικά μεταβαλλόμενες γεωμετρίες, προκύπτει ισοδυναμία με λύσεις ομοιότητας, γεγονός που επιβεβαιώνεται τόσο θεωρητικά όσο και αριθμητικά. Η εργασία επεκτείνεται και στην εξαγωγή ακριβών αναλυτικών λύσεων για ιξωδοελαστικά ρευστά τύπου Oldroyd-B σε κανάλια και σωλήνες με υπερβολικά συστελλόμενη γεωμετρία. Για επίπεδα κανάλια, εξάγεται λύση ομοιότητας για πεπερασμένες τιμές του αριθμού Deborah μέσω μη γραμμικής συνήθους διαφορικής εξίσωσης, σχετιζόμενης με τροποποιημένο πεδίο ταχύτητας. Για κυλινδρικούς σωλήνες, χρησιμοποιείται ημι-αριθμητική φασματική μέθοδος με πολυώνυμα Legendre, επιτυγχάνοντας ακρίβεια μηχανής. Αναλύεται η επίδραση του αριθμού Deborah, του λόγου ιξώδους του πολυμερούς και του λόγου συστολής στη μέση πτώση πίεσης, η οποία μειώνεται με την αύξηση των παραμέτρων αυτών. Το γεγονός αυτό υποδεικνύει ότι η ελαστικότητα μπορεί να βελτιώσει τη ρεολογική συμπεριφορά της ροής σε τέτοιες γεωμετρίες. Συγκρίσεις με επίπεδη γεωμετρία αναδεικνύουν τις επιδράσεις της γεωμετρίας στη συμπεριφορά της ροής. Συνοψίζοντας, παρουσιάζονται σημαντικά θεωρητικά και υπολογιστικά αποτελέσματα που καθιστούν εφικτή τη βελτιστοποίηση του σχεδιασμού ρευστοδυναμικών συστημάτων. Οι εφαρμογές επεκτείνονται σε μικρορρευστομηχανικές και βιομηχανικές διατάξεις, όπου απαιτείται υψηλής ακρίβειας πρόβλεψη της ροής και της μέσης πτώσης πίεσης.