A free boundary problem, projections of random cantor sets, and the geometry of curves with small intersection with many lines

Abstract

Finding the geometric properties of a set is a very old problem. The present text consists of three chapters where we study such properties with techniques involving Complex and Harmonic Analysis, Probability, and Geometric Measure Theory. We specifically deal with a few considerations of free boundary problems, we calculate the decay rate of the projections of a certain random Cantor set, and we describe the shape of planar graphs which avoid having too many intersections with a positive cone of lines. To begin with, we introduce Schwarz functions; holomorphic functions on open domains $\Omega$ satisfying $S(\zeta)=\overline{\zeta}$ on $\Gamma$, part of $\Omega$'s boundary. Sakai in 1991 gave a complete characterization of the boundary of a domain admitting a Schwarz function. In fact, if $\Omega$ is simply connected and $\Gamma=\partial \Omega\cap D(\zeta,r)$, then $\Gamma$ has to be regular real analytic. Here, we attempt to describe $\Gamma$ when the boundary condition is slightly relaxed. In particular, three different scenarios over a simply connected domain $\Omega$ are treated: when $f_1(\zeta)=\overline{\zeta}f_2(\zeta)$ on $\Gamma$ with $f_1,f_2$ holomorphic and continuous up to the boundary, when $\mathcal{U}/\mathcal{V}$ equals certain real analytic function on $\Gamma$ with $\mathcal{U},\mathcal{V}$ positive and harmonic on $\Omega$ and vanishing on $\Gamma$, and when $S(\zeta)=\Phi(\zeta,\overline{\zeta})$ on $\Gamma$ with $\Phi$ a holomorphic function of two variables. It turns out that the boundary piece $\Gamma$ can be, respectively, anything from real analytic to merely $C^1$, regular except finitely many points, or regular except for a measure zero set. For the second chapter, we consider a model of randomness for self-similar Cantor sets of finite and positive $1$-Hausdorff measure. We find the sharp rate of decay of the probability that a Buffon needle lands $\delta$-close to a Cantor set of this particular randomness. Two quite different models of randomness for Cantor sets, by Peres and Solomyak, and by Shiwen Zhang, appear to have the same order of decay for the Buffon needle probability: $\frac{c}{\log\frac{1}{\delta}}$. Here, we prove the same rate of decay for a third model of randomness, which asserts a vague feeling that any ``reasonable'' random Cantor set of positive and finite length will have Favard length of order $\frac{c}{\log\frac{1}{\delta}}$ for its $\delta$-neighbourhood. The estimate from below was obtained long ago by Mattila. In the last chapter, we show the local Lipschitz property for a graph avoiding multiple-point intersection with lines directed in a given cone. The assumption is much stronger than those of the well-known Marstrand's theorem, but the conclusion is much stronger too. Additionally, we find that a continuous curve with a similar property is $\sigma$-finite with respect to Hausdorff length, and we give an estimate on the Hausdorff measure of each ``piece''.

Η μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων ενός συνόλου είναι ένα πολύ παλαιό πρόβλημα. Το παρόν κείμενο αποτελείται από τρία κεφάλαια όπου μελετάμε τέτοιες ιδιότητες με τεχνικές Μιγαδικής και Αρμονικής Ανάλυσης, Πιθανοτήτων και Γεωμετρικής Θεωρίας Μέτρου. Συγκεκριμένα, λύνουμε κάποιες εκδοχές προβλημάτων ελεύθερου συνόρου, υπολογίζουμε το ρυθμό μείωσης των προβολών ορισμένου τυχαίου συνόλου Cantor και περιγράφουμε το σχήμα επίπεδων γραφημάτων τα οποία αποφεύγουν να έχουν πολλές τομές με ένα θετικό κώνο καμπυλών. Αρχικά, εισάγουμε τις συναρτήσεις Schwarz: ολόμορφες συναρτήσεις, S, σε ανοιχτά πεδία Ω για τις οποίες το S(ζ)=#ζ στο Γ, μέρος του συνόρου του Ω, όπου #ζ είναι το μιγαδικό συζυγές του ζ. Ο Sakai το 1991 έδωσε μία πλήρη περιγραφή του συνόρου ενός πεδίου που επιδέχεται μία συνάρτηση Schwarz. Για την ακριβεία, εάν το Ω είναι απλά συννεκτικό και το Γ είναι το σύνορο του Ω που περιέχεται στο δίσκο D(ζ,r), τότε το Γ πρέπει να είναι ομαλό και πραγματικά αναλυτικό. Εδώ προσπαθούμε να περιγράψουμε το Γ όταν η συνοριακή συνθήκη είναι ελαφρός πιο χαλαρή. Συγκεκριμένα, μελετόνται τρία διαφορετικά σενάρια σε ένα απλά συννεκτικό πεδίο Ω: όταν f1(ζ) ισούται με #ζ * f2(ζ) πάνω στο Γ με f1 και f2 ολόμορφες και συνεχής μέχρι και στο σύνορο, όταν U/V ισούται με ορισμένη πραγματική αναλυτική συνάρτηση στο Γ με U και V θετικές αρμονικές στο Ω και μηδέν στο Γ και όταν S(ζ)=Φ(ζ,#ζ) στο Γ όπου Φ είναι κάποια ολόμορφη συνάρτηση δύο μεταβλητών. Αποδεικνύεται ότι το κομμάτι Γ του συνόρου μπορεί να είναι, αντίστοιχα, οτιδήποτε από πραγματικά αναλυτικό έως και απλώς C^1, ομαλό εκτός από πεπερασμένα το πλήθος σημεία, ή ομαλό εκτός από κάποιο σύνολο μέτρου μηδέν. Στο δεύτερο κεφάλαιο ασχολούμαστε με ένα τυχαίο μοντέλο αυτοεπαναλαμβανόμενων συνόλων Cantor θετικού και πεπερασμένου γραμμικού μέτρου Hausdorff. Βρίσκουμε τον ακριβή ρυθμό μείωσης της πιθανότητας μίας βελόνας Buffon να πέσει δ-κοντά σε ένα σύνολο Cantor της συγκεκριμένης τυχαιότητας. Δύο διαφορετικά μοντέλα τυχαιότητηας, από τους Peres και Solomyak και από τον Shiwen Zhang, φαίνεται να έχουν τον ίδιο ρυθμό μείωσης για την πιθανότητα της βελόνας Buffon: c/log(1/δ). Εδώ αποδεικνύουμε ότι ένα τρίτο μεντέλο πιθανότητας έχει επίσης τον ίδιο ακριβώς ρυθμό μείωσης, κάτι που δίνει την αίσθηση ότι κάθε «λογικό» τυχαίο σύνολο Cantor θετικού και πεπερασμένου μήκους θα έχει μήκος Favard της τάξης του c/log(1/δ) σε μια δ-περιοχή του. Η προσέγγιση του κάτω φράγματος έχει επιτευχθεί προ πολλού από τον Mattila. Στο τελευταίο κεφάλαιο δείχνουμε ότι ένα γράφημα που αποφεύγει πολλαπλές τομές με ευθείες προσανατολισμένες σε δοσμένο κώνο είναι τοπικά Lipschitz. Η υπόθεσή μας είναι πολύ ισχυρότερη από αυτές του γνωστού θεωρήματος του Marstrand, αλλά το συμπέρασμα είναι επίσης ισχυρότερο. Επιπλέον, δείχνουμε ότι μία συνεχής καμπύλη με μία παρόμοια ιδιότητα είναι σ-πεπερασμένη υπό το μήκος Hausdorff και δίνουμε μία εκτίμηση του μέτρου Hausdorff κάθε «κομματιού».