Asymptotic behavior of the solutions of partial difference equations

Abstract

In this dissertation, we study the asymptotic behaviour of some partial difference equations and systems of partial linear homogeneous and inhomogeneous difference equations. More precisely we find conditions so that every solution for a system of the partial linear homogeneous difference equations converges to zero and we investigate the asymptotic stability of the trivial solution of the system. In addition, under some conditions on the function for a system of partial linear inhomogeneous difference equations, we prove that every solution of the second system is bounded and finally we find conditions on that function so that every solution converges to zero. Also, we study the Hyers-Ulam stability for an inhomogeneous linear partial difference equation which concludes invertible matrices whose elements are sequences of either one or two variables. This research is conducted using exponential trichotomy which is applied to on our partial difference equation and under some conditions on the matrices and the function, we prove Hyers-Ulam stability. At the end of the dissertation we consider a system of Lyness-type partial difference equation and we investigate the existence of invariants, the boundedness, the persistence and the periodicity of the positive solutions of this system.

Στην παρούσα διατριβή, μελετάμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά από ορισμένες μερικές εξισώσεις διαφορών και συστήματα μερικών γραμμικών ομογενών και μη ομογενών εξισώσεων διαφορών. Πιο συγκεκριμένα βρίσκουμε συνθήκες έτσι ώστε κάθε λύση για ένα σύστημα μερικών γραμμικών ομογενών εξισώσεων διαφορών να τείνει στο μηδέν και ερευνούμε την ασυμπτωτική ευστάθεια τηςτετριμμένης λύσης του συστήματος. Επιπρόσθετα, κάτω από ορισμένες συνθήκες για τη συνάρτηση του συστήματος των μερικών γραμμικών μη ομογενών εξισώσεων διαφορών, αποδεικνύουμε ότι κάθε λύση του δεύτερου συστήματος είναι φραγμένη και τέλος βρίσκουμε συνθήκες σε αυτή τη συνάρτηση ώστε κάθε λύση να τείνει στο μηδέν.Επίσης, μελετούμε την ευστάθεια κατά Hyers-Ulam για μία μη ομογενή γραμμική μερική εξίσωση διαφορών που αποτελείται από αντίστροφους πίνακες των οποίων τα στοιχεία τους είναι ακολουθίες που αποτελούνται από μία ή δύο μεταβλητές. Αυτή η έρευνα υλοποιείται χρησιμοποιώντας την εκθετική τριχοτομία η οποία εφαρμόζεται στην δική μας μερική εξίσωση διαφορών και κάτω από ορισμένες συνθήκες για τους πίνακες και τη συνάρτηση, αποδεικνύουμε την ευστάθεια κατά Hyers-Ulam. Στο τέλος της διατριβής, εξετάζουμε ένα σύστημα μερικών εξισώσεων διαφορών τύπου Lyness και ερευνούμε την ύπαρξη αναλλοίωτων, την περατότητα άνω και κάτω, την περιοδικότητα των θετικών λύσεων αυτού του συστήματος.