Τρισδιάστατη διανυσματική μοντελοποίηση και μέθοδοι υπολογισμού του βαρυτικού και του μαγνητικού πεδίου πεπερασμένων κατανομών

Abstract

The doctoral thesis of Mr. Konstantinos Anastasiadis is entitled "Three-dimensional vector modeling and calculation methods of the gravitational and magnetic field of finite distributions" and the three-member advisory committee, consisting of TATM Professors Mr. G. Vergo, X. Kotsakis and D. Tsoulis , was defined by no. 13/26-8-2020 Department Meeting. Mr. Tsoulis Dimitrios was appointed as supervising Professor. In his thesis, Mr. Anastasiadis examines the vector modeling of the gravitational and magnetic field of finite distributions. It is an analytical methodology that leads to closed relationships for the calculation of the gravitational and magnetic signal of a finite three-dimensional distribution, allowing a unified consideration of the description of these two fields. In the first two chapters, a first introduction is made to the theoretical background of the subject of the thesis, which are the basic equations of Newton's field of attractive forces and the potential theory. In the third chapter, the detailed presentation of the vector method is carried out. The definitions of basic parameters, such as the vector $\mathbf{b}$ , are given. The calculation of the analytical expressions is based on the application of the Gauss theorem in combination with the Stokes theorem. Unlike other analytical methodologies that require continuous projections of the calculation point on different planes and definitions of new coordinate systems and related transformations, the vector method is based on the relationship between the calculation point and the actual dimension of the individual edges that define the polyhedral distribution vectorially. The fourth chapter deals with numerical instabilities when the distance between the calculation point and the disturbance source increases. As the ratio of the distance from the computation point to the local definition point to the edge length of the polyhedron increases, then the accuracy required increases exponentially over the order of magnitude of the integrals required. By introducing an auxiliary offset parameter into the algorithm, the problem is removed and the calculations are normalized. The fifth chapter includes a series of numerical applications to the example asteroid models Eros433 and Didymos as well as to a tetrahedron.

Η διδακτορική διατριβή μου έχει τίτλο “Τρισδιάστατη διανυσματική μοντελοποίηση και μέδοδοι υπολογισμού του βαρυτικού και του μαγνητικού πεδίου πεπερασμένων κατανομών” και η τριμελής συμβουλευτική επιτροπή, αποτελούμενη από τους Καθηγητές του ΤΑΤΜ κκ Γ. Βέργο, Χ. Κωτσάκη και Δ. Τσούλη, ορίστηκε από την αρ. 13/26-8-2020 Συνέλευση Τμήματος. Ως επιβλέπων Καθηγητής ορίστηκε ο κ. Τσούλης Δημήτριος. Στη διατριβή του ο κ. Αναστασιάδης εξετάζει τη διανυσματική μοντελοποίηση του βαρυτικού και του μαγνητικού πεδίου πεπερασμένων κατανομών. Πρόκειται για μία αναλυτική μεθοδολογία που οδηγεί σε κλειστές σχέσεις για τον υπολογισμό του βαρυτικού και του μαγνητικού σήματος μίας πεπερασμένης τρισδιάστατης κατανομής, επιτρέποντας μία ενιαία θεώρηση της περιγραφής των δύο αυτών πεδίων. Στα πρώτα δύο κεφάλαια γίνεται μία πρώτη εισαγωγή στο θεωρητικό υπόβαθρο του αντικειμένου της διατριβής, που είναι οι βασικές εξισώσεις του πεδίου ελκτικών δυνάμεων του Νεύτωνα και της θεωρίας δυναμικού. Στο τρίτο κεφάλαιο πραγματοποιείται η λεπτομερής παρουσίαση της διανυσματικής μεθόδου. Δίνονται οι ορισμοί βασικών παραμέτρων, όπως του διανύσματος b. Ο υπολογισμός των αναλυτικών εκφράσεων βασίζεται στην εφαρμογή του θεωρήματος Gauss σε συνδυασμό με το θεώρημα Stokes. Σε αντίθεση με άλλες αναλυτικές μεθοδολογίες που απαιτούν συνεχείς προβολές του σημείου υπολογισμού σε διαφορετικά επίπεδα και ορισμούς νέων συστημάτων συντεταγμένων και των σχετικών μετασχηματισμών, η διανυσματική μέθοδος βασίζεται στη σχέση μεταξύ σημείου υπολογισμού και την πραγματική διάσταση των επί μέρους ακμών που ορίζουν την πολυεδρική κατανομή διανυσματικά. Το τέταρτο κεφάλαιο πραγματεύεται τις αριθμητικές αστάθειες όταν μεγαλώνει η απόσταση μεταξύ του σημείου υπολογισμού και της διαταρακτικής πηγής. Όταν ο λόγος της απόστασης από το σημείο υπλογισμού μέχρι το τοπικό σημείο ορισμού, προς το μήκος της ακμής του πολυέδρου αυξάνεται, τότε η ακρίβεια που απαιτείται αυξάνεται εκθετικά πάνω από την τάξη μεγέθους των ολοκληρώσεων που απαιτούνται. Εισάγοντας μία βοηθητική παράμετρο offset μέσα στον αλγόριθμο, το πρόβλημα απομακρύνεται και οι υπολογισμοί ομαλοποιούνται. Το πέμπτο κεφάλαιο περιλαμβάνει μία σειρά αριθμητικών εφαρμογών στα παραδείγματα μοντέλων αστεροειδών Eros433 και Didymos καθώς και σε τετράεδρο.