Large deviations for semi-exponential distributions: theory and applications

Abstract

Developed in Chapter 2, is the sample path large deviation principle for Lévy processes and random walks with heavy-tailed Weibull (semi-exponential) increments. This result holds in the Skorokhod space with respect to the M1’ topology. In addition, we prove the extended sample path LDP in the Skorokhod space with the finer J1 topology. Furthermore, we develop theoretical tools for extended LDP and show that the standard LDP cannot be satisfied for the Lévy processes with heavy-tailed Weibull increments. This suggests that the extended LDP is the optimal result one can achieve with respect to the J1 topology. We illustrate this by constructing a counterexample; showing that the LDP in the J1 topology is not possible. These large deviations results have been extended to multidimensional settings in the case of independent Lévy processes and random walks. To enhance the applicability of the extended LDP, we have also developed a form of contraction principle. In particular, we study ruin probabilities in a reinsurance example. That is, we consider level crossing probabilities of Lévy processes where the jump sizes are conditioned to be moderate. In conclusion, for the random processes treated in this chapter, our large deviation analysis demonstrates that associated rare events are caused by big discontinuities of their sample paths; this phenomenon has been characterized as the principle of multiple big jumps. The third chapter centers on sample path large deviations for Markov additive processes. More precisely, we prove the sample path LDP for unbounded additive functionals of processes with light-tailed increments that are induced by the Lindley recursion. The LDP holds in the Skorokhod space equipped with the M1’ topology and with sub-linear speed. Although the process under consideration is constructed by light-tailed increments, rare events are caused by “big jumps”. This result establishes that the structure of light-tailed random processes can induce (asymptotically) a heavy-tailed behavior. Our technique hinges on a suitable decomposition of the Markov chain in terms of regeneration cycles. At each regeneration cycle, we study the accumulated area of the Lindley process. Consequently, the area displays heavy-tailed behavior, and it satisfies an LDP. To derive tail asymptotics for the area, we use sample path analysis; as a by-product of our LDP we show that large areas are caused by concave trajectories of our process. In the fourth chapter, we focus on, the multiple server queue. An important question is the likelihood of a large queue length or waiting time in such systems. To exemplify, consider d parallel servers, each working at a certain speed and suppose that the service time distribution is heavy-tailed. If k large jobs appear in the system simultaneously, then they reduce the capacity of the system, which is not detrimental if the remaining service capacity exceeds the system load ρ. One expects that k* large jobs are required to make the system behave poorly, where k* is the minimum number of big jobs needed to cause instability—in the sense of congestion—in the system. The main results in Chapter 4 provide an estimate for the probability of large queue lengths as well as detailed answers on how large queue lengths occur. For the latter part, we determine the number of big jobs and their sizes that lead to congestion. In Chapter 5, we apply our fundamental results of Chapter 2 to study a stochastic fluid network model with heavy-tailed input (compound Poisson processes with semi-exponential increments). Our results include the continuity of the multidimensional reflection map on certain subspaces of the Skorokhod space under the product J1 topology. Based on the continuity of the multidimensional reflection map we prove large deviation bounds for the multidimensional buffer content process of the stochastic fluid network. Furthermore, we use the large deviation bounds of the buffer content process to estimate overflow probabilities for a subset of the stochastic fluid network nodes. We associate the overflow probabilities with a simplified optimization problem. Lastly, we perform explicit computations in the case of a certain network that relates to—w.r.t. its network topology—the multiple on-off sources model.

Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναπτύσσουμε την συναρτησιακή αρχή μεγάλης απόκλισης (LDP) για διαδικασίες Lévy και τυχαίους περιπάτους με προσαυξήσεις Weibull βαριάς ουράς (ημιεκθετικές). Αυτό το αποτέλεσμα ισχύει στο χώρο Skorokhod με βάση την M1’ τοπολογία. Επιπρόσθετα, αποδεικνύουμε την επεκτεταμένη συναρτησιακή αρχή μεγάλης απόκλισης στο χώρο Skorokhod (επεκτεταμένο LDP) με βάση την J1 τοπολογία. Επιπλέον, αναπτύσσουμε θεωρητικά εργαλεία για το επεκτεταμένο LDP και δείχνουμε ότι το κανονικό LDP δεν μπορεί να επιτευχθεί για διαδικασίες Lévy με προσαυξήσεις Weibull βαριάς ουράς στη J1 τοπολογία. Τα αποτελέσματα θεωρίας μεγάλων αποκλίσεων έχουν γενικευτεί σε χώρους πολλών διαστάσεων στην περίπτωση των διαδικασιών Lévy και των τυχαίων περιπάτων. Για να ενισχύσουμε την εφαρμοστικότητα του επεκτεταμένου LDP, αναπτύξαμε ένα θεώρημα συνέχειας. Μελετούμε πιθανότητες καταστροφής σε ένα ασφαλιστικό παράδειγμα. Συγκεκριμένα, υπολογίζουμε την πιθανότητα η διαδικασία Lévy να περάσει ένα φράγμα όταν οι ασυνέχειες της εχουν δεσμευτεί να είναι μετριοπαθείς. Σε τελική ανάλυση, για τις στοχαστικές διαδικασίες Lévy και τους τυχαίους περιπάτους, η ανάλυση μας δείχνει ότι τα συσχετιζόμενα σπάνια ενδεχόμενα προκαλούνται από μεγάλες ασυνέχειες των μονοπατιών τους. Αυτό το φαινόμενο έχει χαρακτηριστεί ως η αρχή των πολλαπλών μεγάλων αλμάτων. Το τρίτο κεφάλαιο επικεντρώνεται στη συναρτησιακή αρχή μεγάλης απόκλισης για προσθετικές διαδικασίες Markov. Ειδικά, αποδεικνύουμε την συναρτησιακή αρχή μεγάλης απόκλισης για μη φραγμένα προσθετικά συναρτησοειδή διαδικασιών με προσαυξήσεις ελαφριάς ουράς που δημιουργούνται απο την αναδρομή Lindley. Το LDP ισχύει στο χώρο Skorokhod με την M1’ τοπολογία και με υπογραμμική ταχύτητα. Αν και η διαδικασία υπό εξέταση κατασκευάζεται απο προσαυξήσεις ελαφριάς ουράς, σπάνια ενδεχόμενα προκαλούνται από μεγάλες ασυνέχειες. Αυτό το αποτέλεσμα εγκαθιδρύει ότι η δομή μιας διαδικασίας με ελαφριές ουρές μπορεί να προκαλέσει, ασυμπτωτικά, μια συμπεριφορά βαριάς ουράς. Η τεχνική μας βασίζεται σε μια κατάλληλη αποσύνθεση της αλυσίδας Markov με βάση κάποιους αναγεννητικούς κύκλους. Σε κάθε αναγεννητικό κύκλο μελετούμε την συσσωρευμένη περιοχή της διαδικασίας Lindley. Συνεπώς, η συσσωρευμένη περιοχή επιδεικνύει μια συμπεριφορά βαριάς ουράς και ικανοποιεί μια αρχή μεγάλης απόκλισης. Για να αποδείξουμε την ασυμπτωτική μορφή της ουράς, χρησιμοποιούμε την μέθοδο ανάλυσης μονοπατιών όπου καταλήγουμε στο γεγονός ότι μεγάλες περιοχές προκαλούνται απο κοίλες τροχιές της διαδικασίας μας. Στο τέταρτο κεφάλαιο, επικεντρωνόμαστε στην ουρά πολλαπλών εξυπηρετητών. Μια σημαντική ερώτηση είναι η πιθανότητα μεγάλου μήκους της ουράς ή του χρόνου αναμονής σε αυτές τις ουρές. Πιο συγκεκριμένα, εστω d εξυπηρετητές, ο καθένας απο τους οποίους δουλεύει με συγκεκριμένη ταχύτητα και έστω ότι η κατανομή εξυπηρέτησης είναι Weibull βαριάς ουράς. Εάν κ μεγάλες δουλειές εμφανιστούν στο σύστημα ταυτόχρονα, τότε μειώνουν τη χωρητικότητα του συστήματος, το οποίο δεν είναι καταστροφικό εάν η υπολειπόμενη χωρητικότητα του εξυπηρέτη ξεπερνά το φορτίο του συστήματος ρ. Με αυτό τον τρόπο χρειάζονται κ* μεγάλες δουλειές ωστε το σύστημα να μην συμπεριφέρεται σωστά και κ* είναι οι ελάχιστες δουλειές που χρειάζονται για να προκληθεί αστάθεια. Τα κύρια αποτελέσματα του κεφαλαίου 4 παρέχουν μια εκτίμηση της πιθανότητας μεγάλων μηκών ουράς καθώς και αναλυτικές απαντήσεις για το πως πραγματοποιούνται αυτά τα μεγάλα μήκη ουρών. Δηλαδή, υπολογίζουμε τον αριθμό των μεγάλων δουλειών μαζί με τα μεγέθη τους ώστε να προκληθεί συμφόρηση. Στο πέμπτο κεφάλαιο εφαρμόζουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα του κεφαλαίου 2 ώστε να μελετήσουμε ενα στοχαστικό δίκτυο ροών όπου οι εξωγενείς διαδικασίες είναι σύνθετες διαδικασίες Poisson με Weibull ασυνέχειες κατανομής βαριάς ουράς. Τα αποτελέσματα μας περιέχουν την συνέχεια της πολυδιάστατης ανακλαστικής απεικόνισης σε συγκεκριμένους υπόχωρους του χώρου Skorokhod με την τοπολογία J1. Με βάση την συνέχεια της πολυδιάστατης ανακλαστικής απεικόνισης αποδεικνύουμε φράγματα μεγάλων αποκλίσεων για την πολυδιάστατη διαδικασία φόρτωσης του στοχαστικού δικτύου. Επιπλέον, χρησιμοποιούμε τα φράγματα μεγάλων αποκλίσεων της διαδικασίας φόρτωσης ώστε να εκτιμήσουμε πιθανότητες υπερχείλισης για υποσύνολα των κόμβων του στοχαστικού δικτύου. Συσχετίζουμε τις πιθανότητες υπερχείλισηςμε ένα απλοποιημένο πρόβλημα βελτιστοποίησης και λύνουμε το πρόβλημα στην περίπτωση του δικτύου πολλαπλών ανοιχτών-κλειστών πηγών.