Ομοιόμορφα κατανεμημένες ακολουθίες ως προς αναλλοίωτα μέτρα και πυκνότητα μέτρων Radon

Abstract

The context of this PhD thesis is divided into two parts. The first part is entitled as “Invariant measures for skew products and uniformly distributed sequences”. We prove that “almost all” sequences (r1,r2,…rn,…) of positive integers have the following “universal” property: Whenever (X,μ) is a Borel probability compact metric space and Φ1,Φ2,…,Φn,… a sequence of commuting measure preserving continuous maps on (X,μ) such that the action (by composition) on (X,μ) of the semigroup with generators Φ1,Φ2,…,Φn,… is uniquely ergodic and equicontinuous, then for every x in X the sequence w1,w2,…,wn,…, where wn:=Φrn(…(Φ2(Φ1(x)))…) is uniformly distributed for μ. The second part is entitled as “Strengthening the Lebesgue density theorem in the set of real numbers for Radon measures”. S. Ulam on 1937 in the Scottish Book asks if we can strengthen the Lebesgue density theorem. Applying a constructive method of C. Gryllakis we give an affirmative answer to Ulam’s problem for every Radon measure in the set of real numbers.

Το περιεχόμενο της παρούσης διδακτορικής διατριβής χωρίζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος φέρει τον τίτλο «Αναλλοίωτα μέτρα ως προς λοξά γινόμενα και ομοιόμορφα κατανεμημένες ακολουθίες». Εδώ αποδεικνύουμε ότι «σχεδόν όλες» οι ακολουθίες (r1,r2,…rn,…) θετικών ακεραίων έχουν την ακόλουθη «καθολική» ιδιότητα: Αν (X,μ) είναι ένας χώρος μέτρου, όπου ο X είναι ένας συμπαγής μετρικός χώρος, ενώ το μ είναι ένα Borel μέτρο πιθανότητας στον X και αν επιπλέον θεωρήσουμε μια ακολουθία Φ1,Φ2,…,Φn,… συνεχών συναρτήσεων στον (X,μ), οι οποίες μετατίθενται και διατηρούν το μέτρο μ, με την ιδιότητα η δράση (ως προς τη σύνθεση) στον χώρο (X,μ) της ημιομάδας με γεννήτορες την ακολουθία Φ1,Φ2,…,Φn,… να είναι μοναδικά εργοδική και ισοσυνεχής, τότε για κάθε x στο X, η ακολουθία w1,w2,…wn,…, όπου wn:=Φrn(…(Φ2(Φ1(x)))…) είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη ως προς το μέτρο μ. Το δεύτερο μέρος φέρει τον τίτλο «Ισχυροποιώντας το Θεώρημα Πυκνότητας Lebesgue στο σύνολο των πραγματικών αριθμών για μέτρα Radon». Ο S. Ulam το 1937 στο Scottish Book ρωτά αν μπορούμε να ισχυροποιήσουμε το θεώρημα Πυκνότητας Lebesgue. Εμείς, εφαρμόζοντας μια κατασκευαστική μέθοδο του Κ. Γρυλλάκη, δίνουμε καταφατική απάντηση στο πρόβλημα του Ulam για οποιοδήποτε μέτρο Radon στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.