Dynamics and structures of S3T theory in processes of wall-bounded shear flow turbulence

Abstract

Hydrodynamic flows, which are most commonly in a turbulent state, are ever-present in our environment and affect crucially our life. A fundamental property of turbulent flow is the emergence in these flows of self-organized large scale coherent structures. In wall-bounded turbulent flows these coherent structures assume the form of prominent vortices, which are closed circuitous flows in vertical cross-sections of the flow with a streamwise-oriented rotation axis, accompanied with collocated streaks, which are alternating lanes of low- and high- speed fluid in the streamwise direction. This thesis employs a mean field theory motivated by the statistical state dynamics (SSD) of a second order closure formulation (S3T) in order to investigate the mechanism that maintains an inhomogeneous mean flow (which is obtained as the average across the, assumed as homogeneous, streamwise direction) in turbulence and specifically is responsible for the formation of streamwise vortices. The mechanism forming the vortices is central in the self-sustaining process (SSP) of turbulence, with earlier studies considering modal instabilities or optimal streak transient growth arising in the perturbation field (streamwise-varying deviations of the mean flow) as the source of vorticity regeneration. An alternative explanation was provided in the simplified SSD framework of the restricted nonlinear (RNL) dynamics of the Navier-Stokes (NS) equations, where SSP dynamics are reproduced even in the absence of the perturbation-perturbation nonlinearity acting on the perturbation field dynamics. Consequently, this approximation of the perturbation field dynamics relies explicitly on interactions occurring between the mean flow and the perturbation field. The SSP obtained in RNL revealed that the time-dependent mean flow streaks organize the Reynolds stresses of the perturbation field to induce torques that systematically coincide and accelerate the existing mean flow vortices. The approach adopted in this work aims to advance the statistical similarities of this mechanism in numerical simulations of NS and RNL turbulence. In order to reveal the influence of the mean flow on the perturbation component and to study the mean flow dynamics, we modify appropriately the collection of numerical data to collocate the low speed streaks in the center of the spanwise direction and retain spanwise inhomogeneity in the statistics. Eigenvectors (POD modes) of the perturbation field resulting from eigenanalysis of the conditional time mean covariance posses sinuous or varicose mirror symmetries in the spanwise direction. We show that in a stochastic turbulent model, where the collocated time-averaged mean flow is chosen as the background flow, these disturbances grow unevenly due to streak transient growth. In particular, the presence of the low speed streak induces higher energy gains to the sinuous perturbations compared with their varicose counterparts, which is consistent with the energy weight attributed to the POD modes. This uneven growth is reflected in the amplitude of the Reynolds stress nonlinear forcing that supports the streamwise mean vorticity, with the reinforcing stresses to the low-speed streak induced by the sinuous perturbations overpowering the opposing stresses induced by the varicose perturbations (and vice-versa in high speed streaks). We find that this imbalance in the growth of these perturbations is the salient physical mechanism supporting the underlying roll-streak coherent structure and therefore maintaining the spanwise inhomogeneity of the mean flow. Additionally, we demonstrate a synchronization property occurring between subspaces of the dynamics comprised by low and high wavenumber streamwise Fourier harmonics, which labels the controlling subspace as the active component of turbulent dynamics. We show that a universal cutoff wavenumber can be detected for the passive subspace. This is achieved by computing numerical solutions of the NS and calculating the parametric stability of infinitesimal deviations on passive subspaces. Synchronization experiments identify the subspace that is responsible for the chaotic dynamics of turbulence and associate this subspace with energy extraction from the largest scales of the flow.

Οι υδροδυναμικές ροές, ιδιαίτερα αυτές που βρίσκονται σε τυρβώδη κατάσταση, αποτελούν αναπόσπαστο στοιχείο του περιβάλλοντος και επηρεάζουν διάφορες εκφάνσεις της καθημερινότητάς μας. Μια θεμελιώδης ιδιότητα της τυρβώδους ροής, η αυτο-οργάνωση συνεκτικών δομών μεγάλης κλίμακας, διαφάνηκε χάρη στις πρώτες συστηματικές παρατηρήσεις στις ατμόσφαιρες πλανητών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα συνεκτικής δομής, που συναντάται στις απλές διατμητικές ροές κοντά σε τοιχώματα, αποτελούν οι οργανωμένες δομές στροβίλων (κλειστών κινήσεων στην κάθετη διατομή της ροής με άξονα περιστροφής ευθυγραμμισμένο με τη θεωρούμενη ως ομογενή διεύθυνση) και προσαυξήσεων (παράλληλες λωρίδες του ρευστού που κινούνται πιο αργά ή πιο γρήγορα από τη μέση ευθύγραμμη ταχύτητα σε ένα οριζόντιο επίπεδο). Η παρούσα εργασία χρησιμοποιεί μια θεωρία μέσου πεδίου με σκοπό να ταυτοποιηθεί ο μηχανισμός που συντηρεί μια ανομοιογενή μέση ροή (την οποία λαμβάνουμε από τη μέση τιμή του πεδίου ταχυτήτων κατά τη θεωρούμενη ομογενή διεύθυνση) στην τυρβώδη κατάσταση και συγκεκριμένα ευθύνεται για το σχηματισμό των στροβίλων. Η διεργασία που σχηματίζει τους στροβίλους είναι απαραίτητη για τη λειτουργία του αναγεννητικού κύκλου της τύρβης κοντά στα τοιχώματα, και σε προηγούμενες μελέτες έχει αποδοθεί σε ασταθείς ιδιοκαταστάσεις ή σε βέλτιστες διαταραχές της μέσης ροής. Μια διαφορετική θεώρηση προτάθηκε στο απλούστερο μοντέλο περιορισμένης μη γραμμικότητας (Restricted Nonlinear - RNL) των εξισώσεων Navier-Stokes (NS) όπου η δυναμική του κύκλου μπορεί να αναπαραχθεί παρά την απαλοιφή του μη γραμμικού όρου από τη δυναμική του πεδίου διαταραχών (που αποτελείται από τις αρμονικές συνιστώσες της ταχύτητας στην ομογενή διεύθυνση). Συνεπώς αυτή η απλοποιημένη δυναμική του πεδίου διαταραχών στηρίζεται αποκλειστικά στις αλληλεπιδράσεις μεταξύ της χρονικά μεταβαλλόμενης μέσης ροής και του πεδίου διαταραχών. Η λειτουργία του κύκλου στο μοντέλο RNL έδειξε ότι οι χρονοεξαρτώμενες προσαυξήσεις οργανώνουν τις τάσεις Reynolds του πεδίου διαταραχών, ώστε να επάγουν επιταχύνσεις οι οποίες συμπίπτουν με τους υπάρχοντες στροβίλους και οδηγούν σε συστηματική ενίσχυση αυτών. Η προσέγγιση που ακολουθούμε στοχεύει στην ανάδειξη της στατιστικής ομοιότητας αυτού του μηχανισμού σε προσομοιώσεις που διενεργούνται με βάση την τυρβώδη δυναμική των εξισώσεων NS και του μοντέλου RNL. Για να αναδειχθεί η επίδραση της μέσης ροής στις διαταραχές και να μελετηθεί η δυναμική της τροποποιούμε κατάλληλα τη συλλογή των δεδομένων από αριθμητικές προσομοιώσεις, έτσι ώστε οι αργές προσαυξήσεις να συμπίπτουν στο κέντρο της κατά πλάτος διεύθυνσης της ροής, αποκαθιστώντας με αυτόν τον τρόπο την κατά πλάτος ανομοιογένεια της μέσης ροής στη στατιστική ανάλυση. Οι ιδιοκαταστάσεις (POD modes) που προκύπτουν από την ιδιοανάλυση του μέσου χρονικά πίνακα των συσχετίσεων ανήκουν σε κατοπτρικά συμμετρικές ή αντισυμμετρικές καταστάσεις του πεδίου διαταραχών. Μέσω ενός στοχαστικού μοντέλου τύρβης, όπου η μέση χρονικά ροή θεωρείται ως η ροή του υποβάθρου, δείχνουμε ότι οι διαταραχές με αυτές τις συμμετρίες εξελίσσονται άνισα λόγω της μεταβατικής αύξησης. Ειδικά, σε περιβάλλον αργής προσαύξησης παρατηρούμε τη μεγαλύτερη αύξηση της ενέργειας των αντισυμμετρικών καταστάσεων σε σχέση με τις συμμετρικές, αποτέλεσμα που είναι συμβατό και με το ενεργειακό βάρος των POD ιδιοκαταστάσεων. Η επίπτωση αυτής της ανισότητας εντοπίζεται στους όρους που συντηρούν το μέσο στροβιλισμό, όπου, λόγω της ανισότητας μεταξύ αντισυμμετρικών και συμμετρικών διαταραχών, υπερισχύουν οι ενισχυτικές τάσεις που επάγονται από τις αντισυμμετρικές καταστάσεις, ενώ οι συμμετρικές προκαλούν επιβράδυνση (το αντίστροφο συμβαίνει σε περιβάλλον γρήγορης προσαύξησης). Με τον τρόπο αυτό βρίσκουμε ότι η υπεροχή μιας από τις δύο καταστάσεις προκαλεί επιταχύνσεις με ενισχυτικές τάσεις για τη μέση ροή του υποβάθρου, συντηρώντας κατά αυτόν τον τρόπο την ανομοιογένεια. Επιπλέον, αποδεικνύουμε το φαινόμενο του συγχρονισμού μεταξύ των αρμονικών συνιστωσών του πεδίου διαταραχών μεγάλης και μικρής κλίμακας, επιτρέποντας το χαρακτηρισμό του υπόχωρου που συμβάλλει ενεργά στη δυναμική της τύρβης. Σε αυτό το κομμάτι της εργασίας εφαρμόζουμε μια γενικότερη ανάλυση του πεδίου ταχυτήτων σε αρμονικές τις οποίες διαχωρίζουμε σε έναν ενεργό και έναν παθητικό υπόχωρο με βάση ένα μήκος κύματος κατωφλίου. Για να προσδιορίσουμε τον παθητικό υπόχωρο υπολογίζουμε αριθμητικές λύσεις της ροής και εξετάζουμε την παραμετρική σταθερότητα απειροστών διαταραχών του κατά περίπτωση παθητικού υπόχωρου. Από τα πειράματα του συγχρονισμού μπορούμε να προσδιορίσουμε τον υπόχωρο των αρμονικών που είναι υπεύθυνος για τη χαοτική δυναμική, καθώς και ότι αυτός ο υπόχωρος σχετίζεται με την εξαγωγή ενέργειας από τις μεγαλύτερες κλίμακες της ροής.