Wave propagation in non-uniform waveguides

Abstract

Non-uniform waveguides in which the waves slow down as they propagate have a variety of uses. First, the attenuation within the waveguide is enhanced as the waves slow down, which can be used for absorption of flexural or acoustic waves without excessive use of damping material in so-called 'acoustic black holes'. Second, the position of the peak response along the waveguide can vary with frequency, allowing for spatial frequency analysis, as occurs in the cochlea and also in recent 'rainbow' sensors. In this thesis, four different examples of such non-uniform waveguides are studied using both analytical and numerical methods. The reflection from elastic wedges of different thickness profiles is first analysed using the WKB method, and the results are compared with those calculated with the Finite Element method. It is shown that higher orders of WKB approximation are required to capture the details of the frequency variation of the reflection coefficient, and that an exponential wedge presents the least reflection among the studied profiles. For an acoustic waveguide with fitted rings of tapered inner radius, the reflection coefficient is then calculated with a Transfer Function method and compared with experimental results in the literature. A one-dimensional 'box model' of the cochlea with passive micromechanics is also analysed, using both the WKB method and the Finite Difference method. The dependence of the coupled cochlear response to a number of non-dimensional parameters is studied, and it is found that one such parameter, which has previously been used to define the overall phase shift, also determines the symmetry of the frequency response of the system. The design of an acoustic 'rainbow' sensor is discussed and shown to involve a trade-off between the selectivity of the response and the number of elements. The new design is then described, consisting of a main duct with Helmholtz-Resonator side branches of varying dimensions, in which the damping is optimised so that its main characteristics are similar to those of the cochlea, to give a tonotopic mapping and a smooth frequency response.

Μη ομογενείς κυματοδηγοί στους οποίους τα κύματα επιβραδύνονται καθώς διαδίδονται έχουν ποικίλες χρήσεις. Πρώτον, η εξασθένηση εντός του κυματοδηγού ενισχύεται καθώς τα κύματα επιβραδύνονται, γεγονός που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απορρόφηση καμπτικών ή ακουστικών κυμάτων χωρίς υπερβολική χρήση υλικού απόσβεσης στις λεγόμενες 'ακουστικές μαύρες τρύπες'. Δεύτερον, η θέση της μέγιστης απόκρισης κατά μήκος του κυματοδηγού μπορεί να μεταβάλλεται με τη συχνότητα, επιτρέποντας τη χωρική ανάλυση συχνότητας, όπως συμβαίνει στον κοχλία καθώς και επίσης στους πρόσφατους αισθητήρες 'ουράνιου τόξου'. Στην παρούσα διατριβή, μελετώνται τέσσερα διαφορετικά παραδείγματα τέτοιων μη ομογενών κυματοδηγών χρησιμοποιώντας τόσο αναλυτικές όσο και αριθμητικές μεθόδους. Η ανάκλαση από ελαστικές σφήνες διαφορετικών παχών αναλύεται αρχικά με τη μέθοδο WKB και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αποτελέσματα που υπολογίστηκαν με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Αποδεικνύεται ότι απαιτούνται υψηλότερες τάξεις της WKB προσέγγισης για να αποτυπωθούν οι λεπτομέρειες της μεταβολής της συχνότητας του συντελεστή ανάκλασης, και ότι μια εκθετική σφήνα παρουσιάζει τη μικρότερη ανάκλαση μεταξύ των μελετώμενων κατατομών. Για έναν ακουστικό κυματοδηγό με προσαρμοσμένους δακτυλίους κωνικής εσωτερικής ακτίνας, η ανάκλαση υπολογίζεται στη συνέχεια με τη μέθοδο της συνάρτησης μεταφοράς και συγκρίνεται με πειραματικά αποτελέσματα της βιβλιογραφίας. Αναλύεται επίσης ένα μονοδιάστατο 'μοντέλο κουτιού' του κοχλία με παθητική μικρομηχανική, χρησιμοποιώντας τόσο τη μέθοδο WKB όσο και τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Η εξάρτηση της συζευγμένης κοχλιακής απόκρισης από ορισμένες αδιάστατες παραμέτρους μελετάται και διαπιστώνεται ότι μια τέτοια παράμετρος, η οποία χρησιμοποιήθηκε προηγουμένως για τον καθορισμό της συνολικής μετατόπισης φάσης, επίσης καθορίζει τη συμμετρία της απόκρισης συχνότητας του συστήματος. Ο σχεδιασμός ενός ακουστικού αισθητήρα 'ουράνιου τόξου' συζητείται και αποδεικνύεται ότι περιλαμβάνει έναν συμβιβασμό μεταξύ της επιλεκτικότητας της απόκρισης και του αριθμού των στοιχείων. Στη συνέχεια περιγράφεται ο νέος σχεδιασμός, ο οποίος αποτελείται από έναν κύριο αγωγό με πλευρικούς κλάδους αντηχείων Χέλμχολτς διαφόρων διαστάσεων, στους οποίους η απόσβεση έχει βελτιστοποιηθεί έτσι ώστε τα κύρια χαρακτηριστικά του να είναι παρόμοια με εκείνα του κοχλία, προσδίδοντάς του τονοτοπική απεικόνιση και ομαλή απόκριση συχνότητας.