Ρητοί και άρρητοι λόγοι σε περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας: γύρω από το (λεγόμενο) Θεώρημα του Θαλή και τον ορισμό του Ευδόξου για την ισότητα των λόγων

Abstract

This doctoral thesis is about a didactical experiment we conducted to study the concepts of rational and irrational ratio as well as the equality of two ratios in a novel way. The equality of two ratios is decided by the students in a Dynamic Geometry Environment, who perform actions on the configuration of the - so called (in Greece) - Thales’ theorem related to Eudoxus’s definition of the equality of two ratios. To design the experiment we had read very thoroughly the bibliography concerning these digital environments. The usual teaching approach of the irrational ratios in the secondary education focuses on a functional understanding of algebraic procedures and properties of the n- roots of positive integers and bypasses completely the ways an irrational ratio is related to the measurement of lengths and the incommensurable magnitudes. The findings of our experiment show that the old intuitive, but false belief, according to which we can always find a common measure between two magnitudes, returns in a new form in the digital world. The novelty the DGEs brought along is the dragging, which changes the mathematical experience in these environments in an epistemological way. The DGE constitutes a new “world” where the students interact with figures which they can move around and change and, in this way, they construct mathematical meanings. This world should then simulate adequately the real mathematical world. Contradictory as it may seems, due to the discreteness of the environment, the didactic episodes of the experiment, allowed the students to (re)discover the existence of incommensurable magnitudes and, by examining the way the points are moving around other points, in the configuration of Thales’ theorem to recognize the Eudoxus’s definition of the equality of two ratios. Thus dragging may offer to mathematics education an intuitive support for the teaching and learning of concept of the “invisible” irrational ratio. Adopting the semiotic theory of Brian Rotman, we attempt to answer the basic question posed from the very beginning, whether these environments can help us, and how, in the teaching and learning of mathematics.

Η παρούσα διατριβή μελετά την εξέλιξη και τα ευρήματα ενός διδακτικού πειράματος στο οποίο επιχειρείται μία νέα διδακτική προσέγγιση πάνω στις έννοιες ρητός και άρρητος λόγος και ισότητα δύο λόγων. Σε Περιβάλλον Δυναμικής Γεωμετρίας (ΠΔΓ) κρίνεται η ισότητα των λόγων στο λεγόμενο θεώρημα του Θαλή, σύμφωνα με τον ορισμό του Ευδόξου. Ο σχεδιασμός του πειράματος λαμβάνει υπόψη τις βασικές θεωρίες που αναπτύχθηκαν τα προηγούμενα χρόνια στη βιβλιογραφία για αυτά τα περιβάλλοντα. Η διδασκαλία των άρρητων λόγων στο λύκειο, περιορίζεται κατά κύριο λόγο σε ένα λειτουργικό επίπεδο γύρω από τις αλγεβρικές ιδιότητες των ριζών, αποσιωπώντας τη σχέση τους με τη μέτρηση και την έννοια των ασύμμετρων μεγεθών. Το πείραμα, αποδεικνύει ότι παλιές λανθασμένες διαισθητικές αντιλήψεις που σχετίζονται με τη μέτρηση και τα άρρητα μεγέθη επανέρχονται σήμερα, στον σύγχρονο ψηφιακό κόσμο, με μια άλλη μορφή. Η κίνηση των σημείων, το νέο που κόμισαν τα ΠΔΓ, αλλάζει σε επιστημολογικό επίπεδο τη μαθηματική εμπειρία σε αυτό το περιβάλλον. Τα ΠΔΓ συγκροτούν έναν «κόσμο» μέσα στον οποίο οι μαθητές αλληλεπιδρούν με τα γεωμετρικά αντικείμενα και η ανατροφοδότηση που λαμβάνουν πίσω από αυτόν, διαμορφώνει και το νόημα που σχηματίζουν για τα μαθηματικά. Οι μαθητές ανακαλύπτουν, παραδόξως, την ύπαρξη των ασύμμετρων μεγεθών στο διακριτό περιβάλλον του GeoGebra και αναγνωρίζουν τον ορισμό του Ευδόξου για την ισότητα δύο λόγων, στην κίνηση των σημείων, στο γνωστό σχήμα του θεωρήματος του Θαλή. Μέσω της κίνησης, μας δίνεται για πρώτη φορά η δυνατότητα και μίας διαισθητικής υποστήριξης της έννοιας του «αόρατου» άρρητου λόγου, την οποία έως τώρα στερούνταν. Υιοθετώντας τη σημειωτική του Brian Rotman, επιχειρούμε να απαντήσουμε στο βασικό ερώτημα που τέθηκε, άμα τη εμφανίσει αυτών των περιβαλλόντων, σχετικά με αν μπορούν και με ποιον τρόπο να βοηθήσουν αυτά τα περιβάλλοντα στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών.