Saturation of the f-mode instability in neutron stars

Abstract

Since their theoretical prediction in 1934 and the serendipitous discovery of the first pulsar in 1967, neutron stars remain among the most challenging objects in the Universe. Thanks to the advancement of theory, experiments, and observations, many aspects of their nature have been deciphered, yet their inner structure is still unknown. Gravitational waves emitted by neutron star oscillations can be used to obtain information about their equation of state, that is, the equation of state of dense nuclear matter. As discovered in the 1970s, certain oscillation modes can be secularly unstable to the emission of gravitational radiation, via the so-called Chandrasekhar-Friedman-Schutz (CFS) mechanism, thus rendering gravitational-wave asteroseismology a promising probe of the neutron star interior, especially after the recent birth of gravitational-wave astronomy. After its initial growth phase, the instability is expected to saturate, due to nonlinear effects. The saturation amplitude of the unstable mode determines the detectability of the generated gravitational-wave signal, but also affects the evolution of the neutron star through the instability window, namely the region where the instability is active. In this work, we study the saturation of CFS-unstable f-modes (fundamental modes), due to low-order nonlinear mode coupling. Using the quadratic-perturbation approximation, we show that the unstable (parent) mode resonantly couples to pairs of stable (daughter) modes, which drain the parent's energy and make it saturate, via a mechanism called parametric resonance instability. The saturation amplitude of the most unstable f-mode multipoles is calculated throughout their instability windows, for typical and supramassive newborn neutron stars, simply modelled as polytropes in a Newtonian context. Contrary to previous studies, where the saturation amplitude is treated as a constant, we find that it changes significantly throughout the instability window and, hence, during the neutron star evolution. Using the highest values obtained for the saturation amplitude, a signal from an unstable f-mode may even lie above the sensitivity of current, second-generation, gravitational-wave detectors.

Από τότε που προβλέφθηκαν θεωρητικά το 1934 και ανακαλύφθηκαν τυχαία το 1967, με την παρατήρηση του πρώτου πάλσαρ, οι αστέρες νετρονίων κατατάσσονται ανάμεσα στα τα πιο συναρπαστικά αντικείμενα στο Σύμπαν. Χάρη στην πρόοδο της θεωρίας, των πειραμάτων, και των παρατηρήσεων, πολλά χαρακτηριστικά τους έχουν κατανοηθεί, όμως η εσωτερική τους δομή παραμένει άγνωστη. Τα βαρυτικά κύματα που εκλύονται από ταλαντώσεις αστέρων νετρονίων μπορούν να βοηθήσουν στη διερεύνηση της καταστατικής τους εξίσωσης, δηλαδή της καταστατικής εξίσωσης της υπέρπυκνης πυρηνικής ύλης. Εξαιτίας της αστάθειας Chandrasekhar-Friedman-Schutz (CFS), ορισμένοι τρόποι ταλάντωσης του αστέρα είναι ασταθείς λόγω της εκπομπής βαρυτικής ακτινοβολίας, καθιστώντας έτσι την αστεροσεισμολογία βαρυτικών κυμάτων μία τεχνική που μπορεί δυνητικά να προσφέρει πολλές πληροφορίες για την δομή των αστέρων νετρονίων, ιδιαίτερα μετά την έλευση της αστρονομίας βαρυτικών κυμάτων. Αρχικά, το πλάτος της ασταθούς ταλάντωσης αυξάνεται εκθετικά, έως ότου επέλθει κορεσμός λόγω μη γραμμικών φαινομένων. Το πλάτος κορεσμού καθορίζει την παρατηρησιμότητα των εκλυθέντων βαρυτικών κυμάτων, αλλά επηρεάζει και την εξέλιξη του αστέρα νετρονίων εντός του χαρακτηριστικού παραθύρου της αστάθειας, δηλαδή της περιοχής του παραμετρικού χώρου όπου η αστάθεια είναι ενεργή. Η παρούσα μελέτη πραγματεύεται τον κορεσμό της θεμελιώδους ταλάντωσης, η οποία είναι ασταθής λόγω της εκπομπής βαρυτικών κυμάτων. Κάνοντας χρήση της θεωρίας διαταραχών δεύτερης τάξης, δείχνουμε ότι ο κορεσμός επέρχεται λόγω της μη γραμμική σύζευξης του ασταθούς τρόπου ταλάντωσης (μητρική ταλάντωση) με ζεύγη άλλων (ευσταθών) ταλαντώσεων (θυγατρικές ταλαντώσεις), οι οποίες απορροφούν μέρος της ενέργειας της μητρικής ταλάντωσης μέσω ενός χαρακτηριστικού μηχανισμού που ονομάζεται παραμετρικός συντονισμός. Το πλάτος κορεσμού των πιο ασταθών πολύπολων της θεμελιώδους ταλάντωσης υπολογίζεται εντός του χαρακτηριστικού παραθύρου της αστάθειας, για συνήθεις αλλά και υπερμαζικούς αστέρες νετρονίων, κάνοντας χρήση πολυτροπικών μοντέλων σε Νευτώνεια βαρύτητα. Σε αντίθεση με προηγούμενες μελέτες, όπου το πλάτος κορεσμού θεωρείται σταθερό, βρίσκουμε ότι μεταβάλλεται σημαντικά εντός του χαρακτηριστικού παραθύρου της αστάθειας και, συνεπώς, στη διάρκεια της εξέλιξης του αστέρα νετρονίων. Κάνοντας χρήση των υψηλότερων τιμών για το πλάτος κορεσμού, το σήμα που εκπέμπεται από τον ασταθή θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης είναι δυνητικά ανιχνεύσιμο από τους τωρινούς (δεύτερης γενιάς) ανιχνευτές βαρυτικών κυμάτων.

Neutronensterne gehören seit ihrer theoretischen Vorhersage 1934 und der zufälligen Entdeckung des ersten Pulsars 1967 zu den interessantesten astrophysikalischen Objekten. Durch Fortschritte in Theorie, Experiment und Beobachtung konnten schon viele ihrer Eigenschaften entschlüsselt werden, während ihre innere Struktur noch immer ein Rätsel darstellt. Durch Oszillationen von Neutronensternen erzeugte Gravitationswellen enthalten Informationen über ihre Zustandsgleichung und somit das Verhalten von dichter Kernmaterie. Nach dem schon in den 1970er Jahren endeckten Chandrasekhar-Friedman-Schutz (CFS) Mechanismus können bestimmte Oszillationsmoden über längere Zeiträume instabil werden und dabei Gravitationswellen aussenden. Somit verspricht Gravitationswellen-Asteroseismologie ein wichtiges Werkzeug zur Erforschung des Innern von Neutronensternen zu werden, ganz besonders vor dem Hintergrund der kürzlich begonnenen Ära der Gravitationswellenastronomie. Nach einer anfänglichen Phase des Wachstums wird eine Sättigung der instabilen Mode aufgrund von nichtlinearen Effekten erwartet. Die Sättigungsamplitude der Mode bestimmt zum einen die Nachweisbarkeit des entstehenden Gravitationswellensignals, beeinflusst andererseits aber auch die Entwicklung des Neutronensterns auf seinem Weg durch das Instabilitätsfenster, welches den Bereich darstellt, in dem die Instabilität aktiv ist. In dieser Arbeit untersuchen wir die durch in niedriger Ordnung nichtlineare Modenkopplung hervorgerufenen Sättigung von CFS-instabilen f-Moden (fundamentalen Moden). Innerhalb der Näherung quadratischer Störungen zeigen wir, dass die instabile (Eltern-) Mode resonant an Paare von stabilen (Tochter-) Moden koppelt. Diese entziehen über den Mechanismus der paramtrischen Resonanzinstabilität der Elternmode Energie und bringen sie so zum Sättigen. Die Sättigungsamplitude der instabilsten f-Moden-Multipole wird für sowohl typische wie supramassive neugeborene Neutronensterne im gesamten Instabilitätsfenster berechnet. Die Sterne werden dabei als Polytropen im newtonschen Kontext modelliert. Im Gegensatz zu früheren Untersuchungen, bei denen die Sättigungsamplitude als konstant angenommen wird, zeigen wir hier dass diese sich über das Instabilitätsfenster und somit auch während die Entwicklung des Neutronesternes erheblich ändert. Unter Verwendung der Werte am oberen Ende des Parameterbereichs für die Sättigungsamplitude, könnten Gravitationswellen von instabilen f-Moden sogar von heutigen Gravitationswellendetektoren der zweiten Generation nachgewiesen werden.