Crossed products of operator spaces and applications to Harmonic Analysis of non commutative groups

Abstract

We study crossed products arising from actions of locally compact groups on dual operator spaces, which generalize the classical crossed product construction for group actions on von Neumann algebras. Our methods rely on the concepts of Hopf-von Neumann algebras and comodules, since they provide a very natural framework for the study of duality phenomena concerning actions of not necessarily abelian locally compact groups. Below, we give a brief summary of the main results of this thesis.The first chapter is an introduction to the mathematical background which is necessary in order to develop the general theory later. In particular, we expose some basic definitions and properties regarding (dual) operator spaces and operator space tensor products, the notion of stable point-w*-convergence and the main von Neumann (and Banach) algebras associated with locally compact groups.In the second chapter, we deal with Hopf-von Neumann algebras and comodules which are dual operator spaces. In particular, we study the concepts of saturated and non-degenerate comodules over a general Hopf-von Neumann algebra, as well as the interplay between the two notions. For instance, we prove that if a Hopf-von Neumann algebra admits only non-degenerate comodules, then it admits only saturated comodules. Also, we show that the latter, i.e. that a Hopf-von Neumann algebra admits only saturated comodules (which is by definition an algebraic concept), is equivalent to certain approximation conditions. As an application, we prove that a locally compact group G has the approximation property (AP) of Haagerup and Kraus if and only if every saturated comodule over the group von Neumann algebra L(G) is non-degenerate.In the third chapter, we study spatial and Fubini crossed products for group actions on dual operator spaces and their natural comodule structure (dual actions). These two crossed products coincide for group actions on von Neumann algebras by the classical Digernes-Takesaki theorem. However, they may be different for arbitrary dual operator spaces. Using duality theory of actions and the general theory of comodules, we prove that the Fubini crossed product of an action is the smallest saturated comodule containing the respective spatial crossed product, whereas the latter is the largest non-degenerate subcomodule of the former. Therefore, by the previous characterization of groups with the AP, we obtain our main theorem, which states that a locally compact group G has the AP if and only if the Fubini and spatial crossed products coincide for any G-action on some dual operator space. This improves a recent result of Crann and Neufang.Finally, in the last chapter, we apply the general theory in order to obtain a more conceptual perspective of certain classes of bimodules over group von Neumann algebras arising as crossed products of dual operator spaces which are not necessarily von Neumann algebras. As aresult, we obtain a less technical proof of a theorem of Anoussis-Katavolos-Todorov and we answer to a question raised by the same authors regarding the Fourier algebra and its ideals. Also, we extend a result of Crann and Neufang concerning L(G)-bimodules when the group G satisfies a condition a priori weaker than the AP.

Μελετάμε τα σταυρωτά γινόμενα που προκύπτουν από δράσεις τοπικά συμπαγών ομάδων σε δυϊκούς χώρους τελεστών, τα οποία γενικεύουν την κλασική κατασκευή του σταυρωτού γινομένου για δράσεις ομάδων σε άλγεβρες von Neumann. Οι μέθοδος μας στηρίζεται στις έννοιες των αλγεβρών Hopf-von Neumann και comodules, καθώς μας παρέχουν ένα φυσιολογικό πλαίσιο μελέτης φαινομένων δυϊσμού όσον αφορά δράσεις εν γένει μη αβελιανών τοπικά συμπαγών ομάδων. Παρακάτω, ακολουθεί μια σύντομη περίληψη των κυρίων αποτελεσμάτων αυτής της διατριβής.Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί εισαγωγή του απαραίτητου μαθηματικού υποβάθρου για την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας ακολούθως. Συγκεκριμένα, παραθέτουμε τους βασικούς ορισμούς και ιδιότητες αναφορικά με (δυϊκούς) χώρους τελεστών και τανυστικά γινόμενα χώρων τελεστών, την έννοια της stable point-w*-σύγκλισης και τις βασικές άλγεβρες von Neumann (και Banach) που σχετίζονται με τοπικά συμπαγείς ομάδες.Στο δεύτερο κεφάλαιο, ασχολούμαστε με άλγεβρες Hopf-von Neumann και comodules τα οποία είναι και δυϊκοί χώροι τελεστών. Συγκεκριμένα, μελετάμε τις έννοιες saturated και non-degenerate comodules μιας γενικής άλγεβρας Hopf-von Neumann, καθώς και τις μεταξύ τους σχέσεις. Για παράδειγμα, αποδεικνύουμε ότι αν κάθε comodule μιας άλγεβρας Hopf-von Neumann είναι non-degenerate, τότε κάθε comodule αυτής είναι και saturated. Επίσης, δείχνουμε ότι η τελευταία συνθήκη, δηλαδή ότι μια άλγεβρα Hopf-von Neumann έχει μόνο saturated comodules (η οποία είναι εξ ορισμού αλγεβρικού χαρακτήρα), είναι ισοδύναμη με διάφορες συνθήκες προσέγγισης. Ως εφαρμογή, αποδεικνύουμε ότι μια τοπικά συμπαγής ομάδα G έχει την προσεγγιστική ιδιότητα (AP) κατά Haagerup και Kraus αν και μόνο αν κάθε saturated comodule της άλγεβρας von Neumann L(G) της ομάδας είναι non-degenerate.Στο τρίτο κεφάλαιο, μελετώνται το χωρικό και το Fubini σταυρωτό γινόμενο για δράσεις ομάδων σε δυϊκούς χώρους τελεστών, ενώ εξετάζεται και η φυσιολογική δομή comodule (δυϊκές δράσεις) με την οποία εφοδιάζονται. Αυτά τα δύο σταυρωτά γινόμενα συμπίπτουν για δράσεις ομάδων πάνω σε άλγεβρες von Neumann από το κλασικό θεώρημα Digernes-Takesaki. Ωστόσο, ενδέχεται να διαφέρουν για αυθαίρετους δυϊκούς χώρους τελεστών. Xρησιμοποιώντας θεωρία δυϊσμού για δράσεις και την γενική θεωρία των comodules, αποδεικνύουμε ότι το Fubini σταυρωτό γινόμενο για την δράση μιας ομάδας είναι το μικρότερο saturated comodule που περιέχει το αντίστοιχο χωρικό σταυρωτό γινόμενο, ενώ το δεύτερο είναι το μεγαλύτερο non-degenerate subcomodule του πρώτου. Επομένως, από τον προηγούμενο χαρακτηρισμό των ομάδων με την AP, παίρνουμε το κεντρικό μας θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο μια τοπικά συμπαγής ομάδα G έχει την AP αν και μόνο αν το χωρικό και το Fubini σταυρωτό γινόμενο συμπίπτουν για κάθε G-δράση σε οποιονδήποτε δυϊκό χώρο τελεστών. Αυτό βελτιώνει ένα πρόσφατο αποτέλεσμα των Crann και Neufang.Τέλος, στο τελευταίο κεφάλαιο, εφαρμόζοντας την γενική θεωρία παίρνουμε μια από εννοιολογικής άποψης καλύτερη προσέγγιση ορισμένων κλάσεων διπρότυπων πάνω από τις άλγεβρες von Neumann μιας ομάδας, τα οποία αναπαρίστανται ως σταυρωτά γινόμενα δυϊκών χώρων τελεστών που δεν είναι κατ' ανάγκη άλγεβρες von Neumann. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια λιγότερο τεχνική απόδειξη ενός θεωρήματος των Ανούση-Κτάβολου-Todorov και απαντάμε σε μια ερώτηση των ιδίων συγγραφέων αναφορικά με τα ιδεώδη της άλγεβρας Fourier. Επί πλέον, επεκτείνουμε ένα αποτέλεσμα των Crann και Neufang σχετικά με L(G)-διπρότυπα στην περίπτωση που η ομάδα G ικανοποιεί μια συνθήκη a priori ασθενέστερη της AP.