Exploring field theories via the Conformal Bootstrap

Abstract

We study conformal field theories of interest due to phenomenological as well as purely theoretical considerations. This is done with the use of consistency conditions. The program of studying (conformal) field theories with the use of self consistency conditions is referred to as "the bootstrap". In the present thesis we will make use of the numerical bootstrap as envisioned in its modern revival. That is, we will impose crossing symmetry on certain correlators and demand unitarity/reflection positivity, from which we will derive constraints on the parameter space. The parameter space is spanned by an in general infinite set of scaling dimensions and OPE coefficients. These determine various observables, such as the critical exponents observed at critical points. With the use of the numerical bootstrap we will provide strong constraints on the space of allowed critical exponents for various universality classes. The constraints in certain circumstances will be in fact so strong that they actually compute the critical exponents. In other words, only small isolated regions of parameter space will be found to be compatible with the imposed consistency conditions. Some examples of theories we will consider are (hyper) cubic , O(m) × O(n)/Z2 and “MN” theories. We will find isolated allowed regions in parameter space for all of these. As a side effect of our analysis we will also work out tensor structures for various global symmetries, which can be useful beyond the numerical bootstrap.

Στην εργασία μελετώνται σύμμορφες θεωρίες πεδίου που ενδιαφέρουν λόγω φαινομενολογικών όπως και θεωρητικών ερωτημάτων. Η μελέτη των εν λόγω θεωριών γίνεται με χρήση συνθηκών αυτοσυνέπειας. Η μελέτη (σύμμορφων) θεωριών με χρήση συνθηκών αυτοσυνέπειας είναι γνωστή ως “the bootstrap”. Στην παρούσα εργασία θα κάνουμε χρήση του αριθμητικού bootstrap όπως αυτό εμφανίστηκε στην πρόσφατη αναβίωση του. Δηλαδή, θα επιβάλουμε την συμμετρία crossing και τις συνθήκες unitarity/reflection positivity σε συγκεκριμένες συναρτήσεις συσχέτισης (correlation functions), και ως αποτέλεσμα θα βρούμε περιορισμούς στον παραμετρικό χώρο. Ο παραμετρικός χώρος παραμετροποιείται με βάση της ποσότητες γνωστές ως scaling dimensions και OPE coefficients. Αυτές οι ποσότητες καθορίζουν διάφορα μετρήσιμα μεγέθη, όπως οι κρίσιμοι εκθέτες που παρατηρούνται σε κρίσιμα σημεία. Με την χρήση του αριθμητικού bootstrap θα παρέχουμε ισχυρούς περιορισμούς των επιτρεπόμενων τιμών που μπορούν να πάρουν συγκεκριμένοι κρίσιμοι εκθέτες. Σε κάποιες περιπτώσεις οι περιορισμοί θα είναι τόσο ισχυροί που στην ουσία αποτελούν υπολογισμό των εν λόγω ποσοτήτων. Με άλλα λόγια, μόνο μικρές απομονωμένες περιορισμένες περιοχές του παραμετρικού χώρου θα είναι συμβατές με τις συνθήκες αυτοσυνέπειας. Μερικά παραδείγματα θεωριών που θα μελετηθούν είναι οι θεωρίες με υπερ-κυβική, Ο(m) x O(n)/Z2 και “ΜΝ” συμμετρία. Θα βρούμε μικρές επιτρεπόμενες απομονωμένες περιοχές στον παραμετρικό χώρο αυτών των θεωριών. Επίσης, κατά την διάρκεια της μελέτης μας θα προσδιορίσουμε διάφορες τανυστικές δομές που είναι χρήσιμες πέραν του αριθμητικού bootstrap.