Random vibration based precise localization of single and multi - site structural damage via stochastic functional Models

Abstract

Vibration-based damage detection has been investigated extensively whereas the localization of Single-Site Damages (SSDs) and Multi-Site Damages (MSDs) has been explored to a lesser extent. The methods employed for vibration-based localization may be categorized into two main families, the Finite Element Model (FEM) based methods and the data-based methods. The FEM based methods employ the test structure’s detailed and large in size FEM needing update with signals from several sensors and they treat the problem of damage localization as a problem of precise localization whose solution requires the precise estimation of the SSD and MSD Cartesian coordinates on an investigated continuous structural topology, assuming that damage may occur anywhere on the specified topology. The data-based methods employ data-based structural models exclusively identified from a limited number of measured signals (a single measurement may be sometimes sufficient) and they treat the SSD and MSD localization as a classification problem, a problem much simpler than the problem of precise localization, where an unknown SSD or MSD is roughly classified to one of a number of pre-specified damages or to the nearest sensors. Recently, SSD precise localization was achieved through the Functional Model Based Method (FMBM) based on the innovative class of data–based Functional Models (FMs), appropriate data pooling techniques, and proper estimation procedures. The FM parameters depend on a scheduling parameter such as the SSD location’s coordinate and thus an FM is capable of representing the considered (partial) structural dynamics for an SSD incurred anywhere on a given structural topology. Univariate FMs, such as the Vector dependent Functionally Pooled -ARX (VFP-ARX) models, were used for SSD localization on a laboratory aircraft skeleton structure consisting of 1D structural elements (1D continuous structural topologies) with a single sensor and with a FM determined for each element. However a number of issues are left open such as the damage precise localization with the FMBM on structures consisting of 2D and 3D elements, the identification of a single FM representing the dynamics of all structural elements, the damage precise localization with the FMBM based on more than one sensor and the precise localization of MSDs. The current thesis addresses the aforementioned open issues regarding the use of the FMBM for damage localization, with the main goal being the extension and use of FMs for the precise localization of SSDs and MSDs on continuous structural topologies. Chapter II addresses the problem of vibration- based precise localization of SSDs anywhere on any structure, consisting of any number of 1D, 2D or 3D elements. This is achieved through a generalization of the FMBM which employs a single VFP-ARX model for incorporating the whole structural topology and describing the structural dynamics under any damage. The damage coordinates may be incorporated into the model parameters through a 3D scheduling vector whose containing Cartesian coordinates are properly constrained to reflect a given topology. In the context of the FMBM, the localization of an unknown SSD is based on the estimation of the Cartesian coordinates of an unknown damage location within the VFP-ARX model structure and the bounds of the specific structural topology, so that the location estimate and its constructed uncertainty bounds (confidence intervals) are bound within the structural topology and of statistically optimal accuracy. The effectiveness of the postulated method is demonstrated via precise localization of SSDs on a relatively complex 3D lab-scale truss structure consisting of 1D structural elements. An SSD corresponds to loosening of any single bolt and damage localization is investigated based on the use of a single acceleration response sensor within a very low and narrow frequency bandwidth. The results show that SSD localization of high accuracy is possible on a 3D structure through the Generalized FMBM. Chapter III investigates (i) the extension of the original scalar FMBM to its vector form in order to exploit multiple structural responses for achieving SSD localization of higher precision (compared to the scalar form) on structures consisting of 1D structural elements and (ii) its comparison with the previously developed scalar version (Chapter I). The new version is equipped with a VFP-Vector ARX (VFP-VARX) model which constitutes an extension of the previously used, scalar, VFP-ARX model and is capable of representing the structural dynamics as viewed from multiple measurement positions, while also accounting for their interrelations. Based on this model form, precise estimation of the damage coordinates is achieved within a nonlinear optimization framework with constraints representing the structural topology, and corresponding damage confidence intervals are constructed. The size of a VFP-VARX model is larger compared to that of a VFP-ARX model thus increasing the FMBM’s computational complexity and time. The vector version of the FMBM is assessed through the precise localization of SSDs on a 3D lab-scale truss structure, the use of two acceleration response sensors within a very low and narrow frequency bandwidth and detailed comparisons with the previous scalar version (Chapter II). An SSD corresponds to loosening of any single bolt and the results demonstrate that the vector version of the method leads to improved localization accuracy. The focus of Chapter IV is on assessing, for the first time, the achievable damage localization accuracy of the Generalized FMBM (Chapter II) on a 2D structural element. Localization of SSDs is addressed on a lab-scale aircraft stabilizer structure, a 2D structural element, under practical limitations relating to potential in-flight implementation such as constraints on the number of deployed sensors and the excitation bandwidth, which must be limited and low frequency. The method handles the specific 2D structural topology through a representation of the trapezoidal structure as a simple rectangle based on a transformed coordinate system, thus formulating the estimation of the Cartesian coordinates of an unknown SSD location as an optimization problem with simple (as opposed to functional) boundary constraints. In this context, a VFP-VARX model characterized by a 2D scheduling vector is employed. The assessment is based on the use of only two vibration sensors in a limited, low frequency bandwidth and the various examined SSD scenarios simulate local stiffness reduction via the addition of a small mass at any point on the structure. The vector version of the Generalized FMBM (Chapter III) is used due to the multiple employed sensors. The results show that SSD localization of high accuracy is indeed possible on a 2D structural element. Chapter V addresses the problem of MSD precise localization, that is the estimation of the exact MSD coordinates on various structural topologies via a proper extension of the vibration-based FMBM. More specifically, two versions of the method are introduced: i) A 2M version employing two separate FMs, one FM for the representation of the structural dynamics under any SSD and one FM for the representation of the structural dynamics under any MSD and ii) a 1M version employing a single FM for representing the structural dynamics under SSDs and MSDs. In both versions, an unknown damage is characterized as an SSD or MSD through statistical hypothesis tests and subsequently the estimate of the MSD Cartesian coordinates along with the uncertainty bounds are obtained. The employment of two FMs increases the FMBM’s computational complexity but on the other hand the higher modelling accuracy through distinct models offers better damage localization accuracy whereas the employment of a single FM leads to a simpler training procedure in the method’s baseline phase. The performance of the FMBM’s versions on MSD precise localization under a reduced number of experiments (corresponding to MSDs) in their training is also investigated. The two versions of the extended FMBM are assessed through precise localization of SSDs and MSDs (double) on the right wing of a lab–scale Garteur aircraft skeleton. The wing is considered as a 1D structural element in 1D space and a single acceleration response sensor within a very low and narrow frequency bandwidth is employed. SSDs and MSDs are simulated via small mass attachment. The damage characterization results show that both versions of the FMBM are capable of successfully characterizing an unknown damage as an SSD or MSD. The results show that SSD and MSD localization of high accuracy is possible through the two versions of the FMBM with the 2M version exhibiting a slightly better performance for SSDs. Finally, Chapter VI contains the concluding remarks and future perspectives of the thesis.

Η ταλαντωτική ανίχνευση βλαβών έχει διερευνηθεί ευρέως ενώ η χωροθέτηση (προσδιορισμός θέσεων) μονών και πολλαπλών βλαβών έχει μελετηθεί σε μικρότερο βαθμό. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την ταλαντωτική χωροθέτηση μπορεί να κατηγοριοποιηθούν σε δυο οικογένειες, αυτές που βασίζονται στη χρήση μοντέλου πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Model (FEM)) και αυτές που βασίζονται στη χρήση μοντέλου το οποίο αναγνωρίζεται αποκλειστικά με δεδομένα. Στην πρώτη οικογένεια μεθόδων χρησιμοποιείται αναλυτικό και μεγάλο σε μέγεθος μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων που περιγράφει την εξεταζόμενη κατασκευή και το οποίο πρέπει να ενημερωθεί με σήματα δεδομένων από πολλαπλά αισθητήρια. Επιπλέον οι συγκεκριμένες μέθοδοι αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της χωροθέτησης βλαβών ως ένα πρόβλημα ακριβούς χωρομέτρησης του οποίου η λύση απαιτεί την ακριβή εκτίμηση των καρτεσιανών συντεταγμένων μονών και πολλαπλών βλαβών σε μια συνεχή κατασκευαστική τοπολογία, υποθέτοντας ότι η βλάβη μπορεί να συμβεί οπουδήποτε στην εξεταζόμενη τοπολογία. Στη δεύτερη οικογένεια μεθόδων χρησιμοποιείται μοντέλο που αναγνωρίζεται αποκλειστικά με μειωμένο αριθμό δεδομένων (κάποιες φορές ένα σήμα δεδομένων είναι αρκετό για την αναγνώριση) ενώ οι συγκεκριμένες μέθοδοι αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της χωροθέτησης βλαβών ως ένα πρόβλημα ταξινόμησης το οποίο είναι πιο απλό σε σχέση με το πρόβλημα ακριβής χωροθέτησης και κατά το οποίο μια άγνωστη μονή ή πολλαπλή βλάβη ταξινομείται πρόχειρα σε μια προκαθορισμένη βλάβη ή στους κοντινότερους αισθητήρες. Πρόσφατα η ακριβής χωροθέτηση μονών βλαβών επετεύχθη μέσω της μεθόδου που βασίζεται στη καινοτόμα κατηγορία των συναρτησιακών μοντέλων τα οποία βασίζονται αποκλειστικά σε δεδομένα (Functional Model Based Method (FMBM)), τεχνικών σώρευσης δεδομένων και κατάλληλων διαδικασιών εκτίμησης. Οι παράμετροι των μοντέλων εξαρτώνται από μια εξωτερική μεταβλητή όπως η συντεταγμένη της θέσης της μονής βλάβης. Μέσω αυτής της εξάρτησης ένα συναρτησιακό μοντέλο είναι ικανό να περιγράψει τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κατασκευής όταν σε οποιοσδήποτε μέρος της βρίσκεται μια μονή βλάβη. Βαθμωτά συναρτησιακά μοντέλα όπως τα Διανυσματικώς Συναρτησιακά Σωρευμένα μοντέλα Αυτοπαλινδρόμησης με Εξωγενή είσοδο (Vector dependent Functionally Pooled-ARX (VFP-ARX)) έχουν χρησιμοποιηθεί για ακριβή χωροθέτηση μονών βλαβών σε ένα εργαστηριακό σκελετό αεροσκάφους με ένα αισθητήριο και με ένα συναρτησιακό μοντέλο να αναγνωρίζεται για κάθε ένα μέλος της κατασκευής. Ο σκελετός αποτελείται από μονοδιάστατα κατασκευαστικά μέλη και το κάθε μέλος θεωρείται μια μονοδιάστατη συνεχής τοπολογία. Όμως ένας αριθμός θεμάτων έχουν μείνει ανοιχτά όπως η ακριβής χωροθέτηση βλαβών μέσω της FMBM σε κατασκευές αποτελούμενες από δυσδιάστατα και τρισδιάστατα μέλη, η αναγνώριση ενός μόνο μοντέλου το οποίο να περιγράφει τα δυναμικά χαρακτηριστικά όλων των μελών της κατασκευής, η ακριβής χωρομέτρηση βλαβών μέσω της FMBM που να βασίζεται σε πολλαπλά αισθητήρια και η ακριβής χωροθέτηση πολλαπλών βλαβών. Η παρούσα διδακτορική διατριβή ασχολείται με τα προαναφερθέντα ανοιχτά θέματα τα οποία αφορούν τη χρήση της FMBM, με τον κύριο στόχο της διατριβής να είναι η επέκταση και χρήση των συγκεκριμένων μοντέλων για την ακριβή χωροθέτηση μονών και πολλαπλών βλαβών σε συνεχείς κατασκευαστικές τοπολογίες. Το κεφάλαιο ΙΙ αντιμετωπίζει το πρόβλημα της ταλαντωτικής ακριβής χωροθέτησης μονών βλαβών σε οποιοδήποτε σημείο σε οποιαδήποτε κατασκευή η οποία αποτελειται από μονοδιάστατα, δυσδιάστατα και τρισδιάστατα μέλη. Η αντιμετώπιση αυτή επιτυγχάνεται μέσω μιας γενίκευσης της FMBM όπου χρησιμοποιείται μόνο ένα VFP-ARX μοντέλο στο οποίο ενσωματώνεται όλη η κατασκευαστική τοπολογία και το οποίο περιγράφει τα κατασκευαστικά δυναμικά χαρακτηριστικά υπό οποιαδήποτε βλάβη. Οι συντεταγμένες της βλάβης μπορούν να ενσωματωθούν στις παραμέτρους του μοντέλου μέσω ενός διανύσματος το οποίο περιέχει τις τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες και οι οποίες είναι καταλλήλως περιορισμένες για να κατοπτρίζουν την εξεταζόμενη τοπολογία. Στο πλαίσιο της FMBM, η χωροθέτηση μιας άγνωστης μονής βλάβης βασίζεται στην εκτίμηση των καρτεσιανών συντεταγμένων της θέσης της βλάβης μέσω της δομής του VFP-ARX μοντέλου και των ορίων της εξεταζόμενης κατασκευαστικής τοπολογίας, ώστε η εκτίμηση της θέσης και το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης να περιορίζονται μέσα στην κατασκευαστική τοπολογία και να δεσμεύονται από στατιστικά βέλτιστη ακρίβεια. Η απόδοση της επεκταθείσας μεθόδου επιδεικνύεται μέσω της ακριβής χωροθέτησης μονών βλαβών σε ένα περίπλοκο τρισδιάστατο εργαστηριακό δικτύωμα το οποίο αποτελειται από μονοδιάστατα μέλη. Μια μονή βλάβη αντιστοιχεί στο λύσιμο μιας οποιασδήποτε βίδας ενώ η χωροθέτηση βλαβών διερευνάται με τη χρήση ενός επιταχυνσιομέτρου το οποίο λειτουργεί σε ένα χαμηλό και περιορισμένο εύρος συχνοτήτων. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι χωροθέτηση μονών βλαβών σε μια τρισδιάστατη κατασκευή και με υψηλή ακρίβεια είναι δυνατή μέσω της γενικευμένης (Generalized) FMBM. Το κεφάλαιο ΙΙΙ διερευνά (i) την επέκταση της βαθμωτής FMBM στη διανυσματική της μορφή ώστε να καταστεί δυνατή η εκμετάλλευση πολλαπλών σημάτων απόκρισης για την επίτευξη χωροθέτησης μονών βλαβών με υψηλότερη ακρίβεια (σε σχέση με τη βαθμωτή μορφή) σε κατασκευές αποτελούμενες από μονοδιάστατα μέλη και (ii) τη σύγκριση της διανυσματικής FMBM με τη βαθμωτή μορφή της (κεφάλαιο ΙΙ). Η νέα έκδοση είναι εξοπλισμένη με ένα Διανυσματικώς Συναρτησιακό Σωρευμένο Διανυσματικό μοντέλο Αυτοπαλινδρόμησης με Εξωγενή είσοδο (Vector dependent Functionally Pooled-Vector ARX (VFP-VARX)) το οποίο αποτελεί επέκταση των προαναφερθέντων VFP-ARX μοντέλων ενώ είναι ικανό να αντιπροσωπεύει τα κατασκευαστικά δυναμικά χαρακτηριστικά όπως αυτά αποτυπώνεται από πολλαπλές θέσεις αισθητήριων και να λαβαίνει υπόψη του τις αλληλεξαρτήσεις τους. Βάσει αυτής της μορφής του μοντέλου, η ακριβής εκτίμηση των συντεταγμένων της θέσης μιας βλάβης επιτυγχάνεται μέσα σε ένα πλαίσιο μη γραμμικής βελτιστοποίησης με περιορισμούς που αντιπροσωπεύουν την κατασκευαστική τοπολογία, ενώ στη συνέχεια κατασκευάζονται τα αντίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύνης της βλάβης. Το μέγεθος ενός VFP-VARX μοντέλου είναι μεγαλύτερο σε σχέση με ένα VFP-ARX μοντέλο και αυτό έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της υπολογιστικής πολυπλοκότητας και του υπολογιστικού χρόνου στη FMBM. Η διανυσματική έκδοση της FMBM αποτιμάται μέσω της ακριβής xωροθέτησης μονών βλαβών σε ένα τρισδιάστατο εργαστηριακό δικτύωμα, της χρήσης δυο επιταχυνσιομέτρων που λειτουργούν σε χαμηλά και περιορισμένα εύρη συχνοτήτων και της λεπτομερούς σύγκρισης με την βαθμωτή έκδοση της μεθόδου (κεφάλαιο ΙΙ). Μια μονή βλάβη αντιστοιχεί στο λύσιμο μιας οποιαδήποτε βίδας ενώ τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η διανυσματική έκδοση της μεθόδου οδηγεί σε βελτίωση της ακρίβειας στη χωροθέτηση. Το κεφάλαιο IV επικεντρώνεται στην αποτίμηση για πρώτη φορά της ικανότητας της γενικής FMBM (κεφαλαιο ΙΙ) να χωροθετεί μονές βλάβες σε ένα δυσδιάστατο κατασκευαστικό μέλος. Η χωροθέτηση μονών βλαβών εξετάζεται σε ένα εργαστηριακό σταθεροποιητή αεροσκάφους (που είναι ένα δυσδιάστατο κατασκευαστικό μέλος) υπό πρακτικούς περιορισμούς κατά τη διάρκεια της πτήσης όπως ο αριθμός των χρησιμοποιουμένων αισθητήριων που πρέπει να είναι περιορισμένος και το εύρος συχνοτήτων διέγερσης που πρέπει να είναι χαμηλό και περιδοσμένο. Η μέθοδος διαχειρίζεται τη συγκεκριμένη δυσδιάστατη κατασκευαστική τοπολογία μέσω μιας μετατροπής της τραπεζοειδούς κατασκευής σε ένα μια απλή τετράγωνη τοπολογία βάσει ενός μετασχηματισμένου συστήματος συντεταγμένων. Με αυτή τη μετατροπή, η εκτίμηση των καρτεσιανών συντεταγμένων της θέσης μιας άγνωστης βλάβης διαμορφώνεται ως ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης το οποίο υπόκειται σε απλούς και όχι σε περίπλοκους περιορισμούς. Σε αυτό το πλαίσιο, χρησιμοποιείται ένα VFP-VARX μοντέλο το οποίο χαρακτηρίζεται από ένα δυσδιάστατο διάνυσμα που περιέχει τις δισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες. Η αποτίμηση βασίζεται στη χρήση μόνο δυο επιταχυνσιομέτρων σε ένα χαμηλό και περιορισμένο εύρος συχνοτήτων ενώ οι διάφορες εξεταζόμενες μονές βλάβες προσομοιώνουν μια μείωση στη τοπική δυσκαμψία μέσω της τοποθέτησης μιας μικρής μάζας σε οποιοδήποτε σημείο στην κατασκευή. Η διανυσματική έκδοση της FMBM (κεφάλαιο ΙΙΙ) χρησιμοποιείται λόγω της χρήσης πολλαπλών αισθητήριων. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η χωροθέτηση μονών βλαβών σε ένα δυσδιάστατο μέλος και με υψηλή ακρίβεια είναι δυνατή. Το κεφάλαιο V αντιμετωπίζει το πρόβλημα της χωροθέτησης πολλαπλών βλαβών, το οποίο είναι η εκτίμηση των συντεταγμένων των θέσεων πολλαπλών βλαβών, σε διάφορες κατασκευαστικές τοπολογίες μέσω μιας κατάλληλης επέκτασης της ταλαντωτικής FMBM. Συγκεκριμένα, δυο εκδόσεις της μεθόδου παρουσιάζονται: i) στη πρώτη έκδοση χρησιμοποιούνται δυο συναρτησιακά μοντέλα, ένα μοντέλο για την περιγραφή των κατασκευαστικών δυναμικών χαρακτηριστικών υπό οποιαδήποτε μονή βλάβη και ένα μοντέλο για την περιγραφή των κατασκευαστικών δυναμικών χαρακτηριστικών υπό οποιαδήποτε πολλαπλή βλάβη και ii) στη δεύτερη έκδοση χρησιμοποιείται μόνο ένα συναρτησιακό μοντέλο για την περιγραφή των κατασκευαστικών δυναμικών χαρακτηριστικών υπό μονές και πολλαπλές βλάβες. Και στις δυο εκδόσεις, μια άγνωστη βλάβη χαρακτηρίζεται ως μονή ή πολλαπλή βλάβη μέσω στατιστικών ελέγχων υποθέσεων ενώ στη συνέχεια αποκτώνται η εκτίμηση της θέσης της πολλαπλής βλάβης και τα αντίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύνης. Η χρήση δυο συναρτησιακών μοντέλων αυξάνει την υπολογιστική πολυπλοκότητα της FMBM αλλά η μοντελοποίηση υψηλής ακρίβειας μέσω ξεχωριστών μοντέλων προσφέρει μεγαλύτερη ακρίβεια στη χωρόθετηση βλαβών, ενώ η χρήση ενός συναρτησιακού μοντέλου οδηγεί σε μια πιο απλή διαδικασία εκπαίδευσης στη βασική φάση της μεθόδου. Επιπλέον διερευνάται η ικανότητα των δυο εκδόσεων της FMBM σχετικά με την ακριβή χωροθέτηση πολλαπλών βλαβών υπό τη χρήση μειωμένου αριθμού πειραμάτων (τα οποία αντιστοιχούν σε πολλαπλές βλάβες) στη φάση εκπαίδευσης. Οι δυο εκδόσεις της επεκταθείσας μεθόδου αποτιμώνται μέσω της ακριβής χωροθέτησης μονών και πολλαπλών (διπλών) βλαβών στο δεξί φτερό ενός Garteur σκελετού αεροσκάφους. Το φτερό θεωρείται ως ένα μονοδιάστατο κατασκευαστικό μέλος στο μονοδιάστατο χώρο ενώ χρησιμοποιείται ένα μόνο επιταχυνσιόμετρο σε ένα χαμηλό και περιορισμένο εύρος συχνοτήτων. Μονές και πολλαπλές βλάβες προσομοιώνονται μέσω της τοποθέτησης μια μικρής μάζας. Τα αποτελέσματα του χαρακτηρισμού των βλαβών δείχνουν ότι και οι δυο εκδόσεις της FMBM είναι ικανές να χαρακτηρίσουν επιτυχώς μια βλάβη ως μονή ή πολλαπλή. Επιπλέον τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η χωροθέτηση μονών και πολλαπλών βλαβών με υψηλή ακρίβεια είναι δυνατή μέσω των δυο εκδόσεων της FMBM, με τη πρώτη έκδοση να παρουσιάζει λίγο καλύτερη απόδοση στις μονές βλάβες. Τέλος, το κεφάλαιο VI περιέχει τις τελικές παρατηρήσεις και μελλοντικές προοπτικές της διατριβής.