Development and calibration of constitutive model for sand

Abstract

The behavioral diversity of sand for different loading conditions (drained/undrained, monotonic/cyclic, direction), and different initial state and fabric, render its modeling a difficult and challenging task. The suitability of the used constitutive model is evaluated by its capability to capture at least the trends across all these conditions without recalibration of its parameters for each specific case. Simplicity is needless to say a desirable attribute. Too many parameters might increase the versatility of the model at the risk, however, of losing its physical appeal.A novel constitutive model for sand is developed as an alternative plasticity formulation that exhibits critical state consistency for both monotonic and cyclic loading and uniqueness of its parameters for a given type of sand, irrespective of loading conditions. The model, designated as Ta-Ger sand model (Tasiopoulou and Gerolymos, 2012, 2014), is based on a reformulation of perfect elastoplasticity by introducing a hardening law inspired from Bouc-Wen hysteresis. The developed constitutive formulation can be regarded as a bounding single-surface model with vanished elastic region and the distinguished characteristic of a non-explicitly defined plastic modulus.The goal is to provide a simpler but equally efficient scheme of high versatility. The explicitly formulated plastic matrix, H, plays a triple role: (i) it offers a gradual and smooth (“hardening-type”) transition from the elastic to perfectly plastic response in order to capture pre-failure nonlinearity and the coupling between elastic and plastic counterparts composing the total strain increment, (ii) it provides an appropriate loading/unloading/reloading mapping rule by tracking the distance from the ultimate perfectly plastic state as defined by the failure surface, which herein, serves as a bounding surface, and (iii) its terms attain values that are strictly bounded within the range of [0,1].Salient features of the proposed plasticity approach are: (i) a new plastic flow rule based on a revision of Rowe dilatancy theory (1962), accounting for anisotropic distribution of dilatancy to the normal plastic strain increments, as well as densification due to cyclic loading, (ii) a mapping rule and load reversal criterion based on the first order work, inspired from Bouc-Wen hysteresis, and (iii) a new formulation for the evolution of the bounding and phase transformation surfaces as a function of the cumulative deviatoric strain increment, ensuring critical state consistency not only for monotonic but also for cyclic loading.An extensive calibration methodology is then developed aiming at: (i) increasing model predictability and (ii) minimizing the number of internal model parameters. Initially, constitutive formulation was adjusted to Bolton’s (1986) empirical correlations for dilatancy, given as a function of relative dilatancy index, Ir; the latter works as a state parameter in the constitutive framework. This step reduces the number of unknown model parameters to three, besides the ones related directly to measurable physical properties, such as critical state friction angle and elastic modulus. At this stage, the remaining three unknown parameters are expressed as functions of the initial state (relative density and pressure), while inherent fabric effects (such as particle shape, size and packing) on the calibration process are considered. At last, stress-induced anisotropy is dealt with introducing a scalar-valued variable in the model, a function of principal stress rotation angle, α, and the intermediate stress parameter, b, without affecting the number of unknown model parameters. Validation against experimental data was performed in every step for various drained and undrained loading paths in a wide range of α, b values, as well as initial states, for three different types of sand (Toyoura, Fontainebleau, Sacramento–River). Comparison with experiments reveals the capability of the model to describe complex patterns of sand behavior, as well as its versatility to reproduce liquefaction due to cyclic loading at very large strains (e.g. γ > 8%) without exhibiting shear locking.

Η εξάρτηση της συμπεριφοράς της άμμου από τις συνθήκες φόρτισης (στραγγιζόμενη/αστράγγιστη, μονοτονική/ανακυκλική, κατεύθυνση), την αρχική και κρίσιμη κατάσταση (χαλαρή/πυκνή) και τη δομή, καθιστά την προσομοίωση δύσκολη και απαιτητική. Η καταλληλότητα ενός καταστατικού προσομοιώματος αποτιμάται από την ικανότητά του να αναπαράγει ποιοτικά τουλάχιστον τις προαναφερθείσες τάσεις υπό όλες τις συνθήκες, χωρίς να χρειάζεται εκ νέου βαθμονόμηση για κάθε συνθήκη ξεχωριστά. Η εισαγωγή πρόσθετων παραμέτρων αυξάνει την ευελιξία του προσομοιώματος με κόστος, όμως, την ευχρηστία του και προβλεψιμότητά του.Ένα νέο καταστατικό προσομοίωμα για αμμώδη εδάφη αναπτύχθηκε (Ta-Ger sand model) ως μία εναλλακτική διατύπωση της θεωρία πλαστικότητας (Tasiopoulou and Gerolymos, 2012, 2014). Το προσομοίωμα είναι συνεπές με τη θεωρία κρίσιμης κατάστασης τόσο για μονοτονική όσο και για ανακυκλική φόρτιση, ενώ χαρακτηρίζεται από μοναδικότητα των τιμών των παραμέτρων του για δεδομένο τύπο άμμου ανεξάρτητα από τις συνθήκες φόρτισης. Ουσιαστικά, το προσομοίωμα αποτελεί μία επαναδιατύπωση της θεωρίας τέλειας ελαστοπλαστικότητας εισάγοντας έναν νόμο κράτυνσης εμπνευσμένο από το προσομοίωμα ομαλής υστέρησης, Bouc-Wen. Το ανεπτυγμένο καταστατικό προσομοίωμα της παρούσας εργασίας επίσης περιλαμβάνει μία μοναδική περιβάλλουσα επιφάνεια οριακής αντοχής με μηδενική ελαστική περιοχή, καθώς και ένα μη σαφώς ορισμένο μέτρο πλαστικότητας, όπως υπαγορεύει η κλασική θεωρία πλαστικότητας, αλλά αντί αυτού ένα σαφώς ορισμένο πλαστικό μητρώο, Η.Στόχος είναι η πρόταση μίας απλουστευμένης αλλά ευέλικτης διατύπωσης του τέλειου ελαστοπλαστικού μητρώου μέσω της εισαγωγής του πλαστικού μητρώου, Η. Το πλαστικό μητρώο, Η, έχει έναν τριπλό ρόλο: (α) προσφέρει μία σταδιακή και ομαλή μετάβαση (κράτυνση) από την ελαστική στην πλήρως πλαστική απόκριση αναπαράγοντας επιτυχώς την μη-γραμμικότητα πριν την αστοχία και την σύζευξη ελαστικών και πλαστικών επαυξητικών παραμορφώσεων, (β) παρέχει ένα κατάλληλο νόμο προβολής φόρτισης/αποφόρτισης/επαναφόρτισης καταγράφοντας την τρεχουσας τασικής κατάστασης από την επιφάνεια αστοχίας, που λειτουργεί σαν περιβάλλουσα οριακής αντοχής, και (γ) οι όροι του δέχονται τιμές φραγμένες στο διάστημα [0,1].Άλλα βασικά χαρακτηριστικά του προτεινόμενου προσομοιώματος είναι: (α) ένας νέος νόμος πλαστικής ροής βασισμένος στη θεωρία διασταλτικότητας του Rowe (1962), που επιτρέπει ανισότροπη κατανομή της διασταλτικότητας στις ορθές επαυξητικές παραμορφώσεις, (β) ένα νόμο προβολής συνδυασμένο με ένα κριτήριο αντιστροφής φόρτισης που βασίζεται στο έργο πρώτης τάξης, και (γ) εξάρτηση του ρυθμού εξέλιξης της περιβάλλουσας επιφάνειας οριακής αντοχής και της επιφάνειας αλλαγής φάσης ή διασταλτικότητας από την συσσωρευτική διεκτροπική παραμόρφωση, εξασφαλίζοντας επίτευξη της κρίσιμης κατάστασης τόσο για μονοτονικές όσο και ανακυκλικές συνθήκες φόρτισης.Μία εκτενής μεθοδολογία βαθμονόμησης αναπτύχθηκε με σκοπό: (α) την αύξηση της ικανότητας πρόβλεψης και (β) την μείωση του αριθμού των παραμέτρων του προσομοιώματος. Αρχικά, οι εμπειρικές συσχετίσεις διασταλτικότητας του Bolton (1986), ως συνάρτηση του σχετικού δείκτη διασταλτικότητας, Ir, ενσωματώθηκαν στο καταστατικό πλαίσιο προσομοίωσης. Σε αυτό το στάδιο, ο αριθμός των άγνωστων παραμέτρων του προσομοιώματος μειώθηκε σε τρεις, χωρίς αυτές που μπορούν να συσχετιστούν με άμεσα μετρήσιμες φυσικές ιδιότητες, όπως η γωνία τριβής κρίσιμης κατάστασης και το μέτρο ελαστικότητας. Σε επόμενο στάδιο, οι τρεις εναπομενουσες παράμετροι εκφράστηκαν συναρτήσει της αρχικής κατάστασης (αρχική σχετική πυκνότητα, αρχική μέση ενεργός τάση), ενώ η επίδραση των φαινομένων δομής (όπως, σχήμα, μέγεθος, διάταξη κλπ. κόκκων) στην βαθμονόμηση ερευνάται. Τέλος, η ανισοτροπία λόγω κατευθύνσης φόρτισης προσεγγίστηκε με την εισαγωγή μιας βαθμωτής μεταβλητής που ορίζεται ως συνάρτηση της στροφής των κύριων αξόνων, α, και της παραμέτρου για την επίδραση της ενδιάμεσης κύριας τάσης, b, χωρίς να αλλάξει ο αριθμός των παραμέτρων του προσομοιώματος. Επαλήθευση του προσομοιώματος έναντι πειραματικών δεδομένων πραγματοποιήθηκε σε κάθε βήμα της βαθμονόμησης για διάφορες οδεύσεις φόρτισης υπό συνθήκες τόσο πλήρως στραγγιζόμενες όσο και αστράγγιστες, σε ένα μεγάλο εύρος τιμών α, b, και αρχικών καταστάσεων, για τρεις τύπους άμμου (Toyoura, Fontainebleau, Sacramento–River). Η σύγκριση με πειράματα ανέδειξε την ικανότητα του προσομοιώματος στο να περιγράφει επιτυχώς σύνθετες πτυχές της συμπεριφοράς της άμμου, όπως την αναπαραγωγη ρευστοποίησης λόγω ανακυκλικής διατμησης σε μεγάλες παραμορφώσεις (e.g. γ > 8%), χωρίς να παρουσιάζει «διατμητικό κλείδωμα» (shear locking).