End extensions of models of weak arithmetics

Abstract

The subject of the Ph.D Thesis is the study of problems concerning end extensions of models of subsystems of first-order Peano arithmetic (PA) in the first order language of arithmetic L A . More specifically the problem first posed by J. Paris, Is every model of Σ_1 -Collection a proper initial segment of a model of bounded induction? Remains unanswered.This problem was stated in an effort to miniaturize the famous McDowell-Specker Theorem that every model of PA has a proper elementary end extension. The main problem was studied by J. Paris and A. Wilkie who showed that a sufficient condition for a positive answer is that the model is I∆_0 -full (where I∆_0 denotes the theory of ∆_0 -induction).We show that the notion of I∆_0 -fullness can be by-passed by alternative proofs to these results which employ the classical argument of the Completeness theorem in its arithmetised form (Hilbert-Bernays) together with consistency statements referring to semantic tableaux methods.Furthermore, using the same methodology suitably modified we prove the generalisation of the result, namely that every countable model of Σ_n -Collection, n > 1, has a proper Σ_n -elementary end extension to a model of bounded induction.

Η διδακτορική διατριβή ασχολείται με τη μελέτη προβλημάτων που αφορούν τελικές επεκτάσεις μοντέλων υποσυστημάτων της πρωτοβάθμιας αριθμητικής Peano. Πιο συγκεκριμένα, το πρόβλημα του J. Paris: «Υπάρχει, για κάθε αριθμήσιμο μοντέλο της Σ_1 συλλογής γνήσια τελική επέκτασή του που ικανοποιεί την ∆_0 επαγωγή;» παραμένει ανοικτό.Το πρόβλημα μελέτησαν οι J. Paris και A. Wilkie (1989), οι οποίοι απέδειξαν ότι ικανή συνθήκη για θετική απάντηση είναι το μοντέλο να είναι I∆_0 -πλήρες (όπου με I∆_0 συμβολίζεται η θεωρία της ∆_0 -επαγωγής). Αποδεικνύουμε ότι η χρήση της έννοιας της I∆_0 -πληρότητας μπορεί να παρακαμφθεί και στη θέση της να χρησιμοποιηθεί η τυποποίηση του κλασικού επιχειρήματος του θεωρήματος πληρότητας (θεώρημα Hilbert-Bernays), με χρήση σημασιολογικών πινάκων (semantic tableaux).Επιπλέον, με την ίδια μεθοδολογία κατάλληλα τροποποιημένη αποδεικνύουμε τη γενίκευση του αποτελέσματος, δηλαδή ότι για κάθε αριθμήσιμο μοντέλο της Σ_n -συλλογής, n > 1, υπάρχει γνήσια Σ_n -στοιχειώδης τελική επέκτασή του που ικανοποιεί την ∆_0 -επαγωγή.