ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΕΣ ΝΟΡΜΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΥΠΑΡΞΗΣ UNCONDITIONAL ΒΑΣΗΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH

Abstract

GIVEN A FAMILY OF FINITE SUBJECTS OF N, SEQUENCE E1 < E2 < .... < ED OF SUCCESSIVE INTERVALS OF N IS CALLED M - ADMISSIBLE IF THERE EXISTS A SET {M1,...,MD} E M SUCH THAT M1 <= E1 < M2 <= E2 < ... < MD <= ED. A BANACH SPACE X WITHA NORMALIZED BASIS (EN)OO N=1 IS SAID TO HAVE A SATURATED NORM IF THERE EXIST A SEQUENCE (MK)K OF COMPACT FAMILIES OF FINITE SUBSETS OF N AND A SEQUENCE (ΘΚ)Κ OF POSITIVE REALS, WITH 0 < ΘK < 1 AND ΘΚ ---> 0, SUCH THAT THE NORM ΙΙ.ΙΙ OF X SATISFIES THE FOLLOWING IMPLICIT EQUATION: (TYPE). FOR GIVEN SEQUENCES (MK)K AND (ΘK)K THE ABOVE EQUATION DETERMINES A UNIQUE BANACH SPACE WHICHWE DENOTE BY T[(MK,ΘΚ)Κ]. THE PROTOTYPE OF SUCH SPACES IS TSIRELSON'S SPACE.WE PROVE THAT A BANACH SPACE WITH A SATURATED NORM IS REFLEXIVE. WE ALSO GIVE NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS ON THE COMPLEXITY OF THE FAMILIES MK FORA SPACE T[(MK,ΘK)N K=1] - DEFINED BY A FINITE SEQUENCE (MK,ΘK)N K=1 - TO CONTAIN A SUBSPACE ISOMORPHIC TO (A) SOME LP, (1 < P < OO), (B) A SUBSPACE OF TSIRELSON'S SPACE. NEXT WE CONSIDER PARTICULAR CASES OF SPACES OF THE FORM T[(MK, ΘΚ)OO K=1] WHICH WE SHOW TO ADMIT NATURALLY DEFINED ARBITRARILY LARGE DISTORTIONS. IN PARTICULAR, WE GIVE AN EXAMPLE OF AN ARBITRARILY DISTORTABLE ASYMPTOTIC L1 BANACH SPACE WITH AN UNCONDITIONAL BASIS, ANSWERING A QUESTION IN [G3]. FINALLY, USING THE PREVIOUS CONSTRUCTION AND IDEAS FROM [G-M], WE PRODUCE AN ASYMPTOTIC L1 BANACH SPACE NOT CONTAINING ANY UNCONDITIONAL BASIC SEQUENCE.

ΕΙΣΑΓΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΗ ΤΩΝ ΧΩΡΩΝ BANACH ΜΕ ΚΟΡΕΣΜΕΝΗ ΝΟΡΜΑ, ΟΙ ΟΠΟΙΟΙ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ, ΜΕ ΒΑΣΗ ΜΙΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ Η ΑΠΕΙΡΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ (ΜΚ)Κ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΥΠΟΣΥΝΟΛΩΝ ΤΟΥ IΝ, ΜΕ ΤΡΟΠΟ ΑΝΑΛΟΓΟ ΜΕ ΑΥΤΟΝ ΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΟΥ TSIRELSON. ΣΤΟ 1Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΚΑΘΕ ΜΗ ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ BANACH ΜΕ ΚΟΡΕΣΜΕΝΗ ΝΟΡΜΑ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΟΠΑΘΗΣ. ΕΠΙΣΗΣ ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΜΕ ΚΟΡΕΣΜΕΝΗ ΝΟΡΜΑ, ΟΙ ΟΠΟΙΟΙ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ ΑΚΟΛOΥΘΙΑ (ΜΚ)N Κ=1. ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΩΝ ΜΚ, ΩΣΤΕ ΕΝΑΣ ΧΩΡΟΣ ΑΥΤΟΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΥΠΟΧΩΡΟ ΙΣΟΜΟΡΦΟ ΜΕ (Α) ΚΑΠΟΙΟΝ LP (Β) ΕΝΑ ΥΠΟΧΩΡΟ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΟΥ TSIRELSON. ΣΤΟ 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΩΡΩΝ ΜΕ ΚΟΡΕΣΜΕΝΗ ΝΟΡΜΑ, ΟΙ ΟΠΟΙΟΙ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΠΕΙΡΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ (ΜΚ)ΟΟ Κ=1 ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΡΙΟΡΙΣΤΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΜΟΙ. ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ, ΔΙΝΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΑ L1 ΑΠΕΡΙΟΡΙΣΤΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΜΟΥ ΧΩΡΟΥ BANACH. ΣΤΟ 3Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΥΜΕ ΕΝΑΝ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΑ L1 ΧΩΡΟ BANACH Ο ΟΠΟΙΟΣ ΔΕΝ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΚΑΜΜΙΑ UNCONDITIONAL ΒΑΣΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ.