Unprojection theory, applications to Algebraic Geometry and anisotropy of Simplicial Spheres

Abstract

The present thesis consists of two parts. The first part of the thesis is related to the study of unprojection theory and the construction of three codimension 6 families of Fano 3-folds anticanonically embedded in weighted projective space. The second part concerns the study of the Lefschetz and anisotropy properties of the Stanley-Reisner ring of simplicial spheres. In Chapter 2, we introduce some preliminary notions and known results from Commutative Algebra, Algebraic Geometry and Combinatorial Algebra, with a particular emphasis to Gorenstein rings, Fano 3-folds and simplicial complexes. In Chapter 3, we recall some existing results related to unprojection theory. Unprojection theory, which is due to Miles Reid, uses ideas from birational geometry to construct more complicated commutative rings starting from simpler data. It is our main tool for the geometric applications. In Chapter 4, we develop a new parallel unprojection format, for which we give the name Tom & Jerry triples format. We use the format to prove, starting from codimension 3, the existence of two codimension 6 families of Fano 3-folds. In Chapter 5, we develop a second parallel unprojection format, which we call the 4-intersection format. We use the format to prove, starting from codimension 2, the existence of a codimension 6 family of Fano 3-folds. In Chapter 6, which is joint work with Stavros Argyrios Papadakis, we introduce the notion of generic anisotropy of a simplicial sphere. We prove that a simplicial sphere is generically anisotropic over any field of characteristic 2, and that a 1-dimensional simplicial sphere is generically anisotropic over any field. As an application, we give a second proof of McMullen's g-conjecture for simplicial spheres.

Η παρούσα διατριβή αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος της διατριβής σχετίζεται με τη μελέτη της θεωρίας της αντιπροβολής και την κατασκευή τριών συνδιάστασης 6 οικογενειών τρισδιάστατων Fano πολυπτυγμάτων αντικανονικά εμφυτευμένων στον βαθμωτό προβολικό χώρο. Το δεύτερο μέρος αφορά τη μελέτη των ιδιοτήτων Lefschetz και της ανισοτροπίας του Stanley-Reisner δακτυλίου των μονοπλεκτικών σφαιρών. Στο Κεφάλαιο 2, εισάγουμε κάποιες εισαγωγικές έννοιες και ήδη γνωστά αποτελέσματα από τους κλάδους της Μεταθετικής Άλγεβρας, της Αλγεβρικής Γεωμετρίας και της Συνδυαστικής Άλγεβρας, με ιδιαίτερη έμφαση στους δακτυλίους Gorenstein, στα τρισδιάστατα Fano πολυπτύγματα και στα μονοπλεκτικά συμπλέγματα. Στο Κεφάλαιο 3, υπενθυμίζουμε κάποια ήδη υπάρχοντα αποτελέσματα που σχετίζονται με τη θεωρία της αντιπροβολής. Η θεωρία της αντιπροβολής, η οποία οφείλεται στον Miles Reid, χρησιμοποιεί ιδέες της Αμφίρητης Γεωμετρίας για να κατασκευάσει πιο περίπλοκους μεταθετικούς δακτυλίους ξεκινώντας από απλούστερα αρχικά δεδομένα. Είναι το κύριο μας εργαλείο για τις γεωμετρικές εφαρμογές. Στο Κεφάλαιο 4, αναπτύσουμε μία νέα μορφή παράλληλης αντιπροβολής, την οποία ονομάζουμε Tom και Jerry τριάδες. Χρησιμοποιούμε αυτή τη μορφή για να αποδείξουμε, ξεκινώντας από συνδιάσταση 3, την ύπαρξη δύο συνδιάστασης 6 οικογενειών από τρισδιάστατα Fano πολυπτύγματα. Στο Κεφάλαιο 5, αναπτύσουμε μία δεύτερη μορφή παράλληλης αντιπροβολής, την οποία καλούμε 4-διατομή. Χρησιμοποιούμε αυτή τη μορφή για να αποδείξουμε, ξεκινώντας από συνδιάσταση 2, την ύπαρξη μιας συνδιάστασης 6 οικογένειας από τρισδιάστατα Fano πολυπτύγματα. Στο Κεφάλαιο 6, το οποίο είναι σε συνεργασία με τον Σταύρο Αναργύρου Παπαδάκη, εισάγουμε την έννοια της γενικής ανισοτροπίας μιας μονοπλεκτικής σφαίρας. Αποδεικνύουμε ότι μία μονοπλεκτική σφαίρα είναι γενικά ανισοτροπική υπεράνω οποιουδήποτε σώματος χαρακτηριστικής 2, και ότι μία μονοδιάστατη μονοπλεκτική σφαίρα είναι γενικά ανισοτροπική υπεράνω οποιουδήποτε σώματος. Ως εφαρμογή, δίνουμε μια δεύτερη απόδειξη της g-εικασίας του McMullen για μονοπλεκτικές σφαίρες.