Μέθοδοι εντοπισμού περιοδικών λύσεων και υπολογισμού διακλαδώσεων μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων σε σύγχρονα προβλήματα εφαρμοσμένων επιστημών

Abstract

In the present dissertation simple and degenerate, higher codimension (1,2,3) local Hopf bifurcations have been analyzed in multidimensional, multi-parameter differential dynamical systems of ordinary differential equations. A new symbolic form for the fast and efficient restriction of the system on the center manifold and the computation of the associated normal forms is introduced. Moreover, methods for the location of periodic solutions and especially limit cycles, bifurcating through local Hopf bifurcations are implemented, such as shooting methods, orthogonal collocation on finite elements, PSS technique and a modified harmonic balance method, which yields analytical expressions of the bifurcated cycles up to the desired order of approximation. Furthermore, as far as the numerical location of periodic solutions via the method of orthogonal collocation on finite elemets is concerned, the implemented algorithm enables (and this is exactly the case throughout this work) the use of methods of optimization for the solution of the nonlinear systems of algebraic equations, arising from the application of the method.Additionally, global bifurcations have been analysed and algorithms for the location of global asymptotically connecting orbits, such as homoclinic at equilibria, heteroclinic between periodic solutions, hetroclinic between a fixed point and a limit cycle and heteroclinic between equilibria, have been implemented. Those algorithms have been modified and extended appropriately, so that they can be used for the numerical continuation of the orbits of interest. In case of the implementation of algorithms for the numerical location of asymptotically connecting orbits containing a fixed point (or two fixed points), a technique for the computation and use of high order accurate boundary conditions, which have been proved really effective, accurate and fast, has been proposed and applied.The aforementioned methodologies, techniques and the corresponding algorithms have been successfully applied for the analysis of systems from different fields of Applied Sciences, form the field of Electrical Engineering and from other fields of other sciences, such as the Lorenz system, a generalized Lorenz system, a model of Energy Resources, a model of a laser of saturable absorber, food chain systems, economic models and a biochemical Atri model.In addition, a new epidemiological system of type SEIRS has been constructed. A thorough stability analysis has been carried out on this system, a simple, codimension 1, supercritical Hopf bifurcation occurring in this system has been analyzed, the associated bifurcated limit cycles have been located, a point-to-point homoclinic bifurcation at an endemic equilibrium, heteroclinic asymptotically connecting point-to-cycles connecting orbits and different types of heteroclinic point-to-point orbits, as well.

Στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας μελετώνται απλές και εκφυλισμένες, ανωτέρας συνδιαστάσεως (1,2,3) τοπικές διακλαδώσεις Hopf σε πολυδιάστατα και πολυπαραμετρικά διαφορικά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, εισάγεται μια νέα συμβολική μορφή για τον ταχύ και αποτελεσματικό περιορισμό του συστήματος στην κεντρική πολλαπλότητα και τον υπολογισμό των συνυφασμένων κανονικών μορφών και υλοποιούνται μέθοδοι εντοπισμού οριακών κύκλων, διακλαδιζομένων μέσω των προαναφερθεισών διακλαδώσεων, όπως η μέθοδος απλής σκοπεύσεως, η μέθοδος πολλαπλών σκοπεύσεων, η μέθοδος ορθογωνίου συγκατατάξεως με πεπερασμένα στοιχεία, η μέθοδος επιφανειών τομών Poincaré και μια τροποποίηση της μεθόδου αρμονικής εξισορροπήσεως, η οποία παράσχει αναλυτικές εκφράσεις των διακλαδιζομένων οριακών κύκλων προς εντοπισμό. Επιπροσθέτως, στην περίπτωση αριθμητικού εντοπισμού περιοδικών λύσεων με τη μέθοδο της ορθογωνίου συγκατατάξεως με πεπερασμένα στοιχεία, ο υλοποιηθείς αλγόριθμος επιτρέπει και έγινε εφαρμογή μεθόδων βελτιστοποιήσεως για την επίλυση των συνυφασμένων μη γραμμικών αλγεβρικών συστήματων που προκύπτουν από την εφαρμογή της μεθόδου.Επίσης, μελετήθηκαν καθολικές διακλαδώσεις και υλοποιήθηκαν αλγόριθμοι εντοπισμού καθολικών ασυμπτωτικώς συνδετικών τροχιών, όπως ομοκλινικών σε σημεία ισορροπίας, ετεροκλινικών ανάμεσα σε περιοδικές λύσεις, ετεροκλινικών ανάμεσα σε σημείο ισορροπίας και περιοδική λύση και ετεροκλινικές ανάμεσα σε σημεία ισορροπίας. Επίσης, οι ίδιοι αλγόριθμοι τροποποιήθηκαν κατάλληλα, έτσι ώστε να αξιοποιηθούν στην αριθμητική συνέχιση των τροχιών ενδιαφέροντος. Επιπροσθέτως, στο πλαίσιο της υλοποιήσεως αλγορίθμων αριθμητικού εντοπισμού ασυμπτωτικών τροχιών σε σημείο (ή σημεία) ισορροπίας, εισήχθησαν και χρησιμοποιήθηκαν συνοριακές συνθήκες υψηλής τάξεως ακριβείας, οι οποίες συμβάλλουν με καθοριστικό τρόπο στον ακριβέστερο και ταχύτερο εντοπισμό των τροχιών ενδιαφέροντος. Οι προαναφερθείσες μεθοδολογίες, τεχνικές και οι συνυφασμένοι αλγόριθμοι εφαρμόστηκαν στο πλαίσιο μελέτης συστημάτων από διαφορετικούς κλάδους των Eφαρμοσμένων Επιστημών, από τον κλάδο του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού και άλλων Φυσικών Επιστημών, όπως για παράδειγμα στο σύστημα Lorenz, σε ένα γενικευμένο σύστημα Lorenz, σε ένα μοντέλο ενεργειακών πόρων, σε ένα μοντέλο λέιζερ κορεστού απορροφητή, σε συστήματα τροφικών αλυσίδων, σε οικονομικά μοντέλα, στο επίπεδο κυκλικώς περιορισμένο πρόβλημα των τριων σωμάτων και σε ένα βιοχημικό μοντέλο Atri. Επιπλέον, κατασκευάστηκε ένα επιδημιολογικό σύστημα τύπου SEIRS, στο οποίο έγινε μελέτη ευστάθειας. Eντοπίστηκε μια υπερκρίσιμη διακλάδωση Hopf συνδιαστάσεως 1, εντοπίστηκαν οι αντίστοιχοι διακλαδιζόμενοι οριακοί κύκλοι και μια ομοκλινική διακλάδωση σε ένα ενδημικό σημείο ισορροπίας και ετεροκλινικές, ασυμπτωτικώς συνδετικές τροχιές από σημείο ισορροπίας σε οριακό κύκλο και ετεροκλινικές τροχιές ανάμεσα σε σημεία ισορροπίας διαφορετικών τύπων.