Αριθμητικές μέθοδοι εκτίμησης συναρτήσεων πινάκων

Abstract

This thesis focuses on the efficient estimation of functions of matrices, as well as of other associated quantities, through the approximation of the bilinear form (x,f(A)y), for a suitable function f and a matrix A. In particular, an extrapolation method has been developed for approximating the aforementioned bilinear form, by using tools such as the singular value decomposition, the spectral decomposition and the moments of the matrix A. In this work, we develop estimates for real symmetric and nonsymmetric matrices, complex Hermitian matrices and linear compact operators on Hilbert spaces, we compute upper and lower bounds for the estimated quantities and we present several numerical results stemming from real applications.

Το κύριο αντικείμενο μελέτης αυτής της διατριβής είναι η αποτελεσματική εκτίμηση συναρτήσεων πινάκων, αλλά και ποσοτήτων που συνδέονται με συναρτήσεις πινάκων μέσω της προσέγγισης της διγραμμικής μορφής (x,f(A)y) εν γένει, για κατάλληλη συνάρτηση f και πίνακα Α. Συγκεκριμένα, μελετήθηκε μία μέθοδος παρεκβολής των ροπών του πίνακα Α για την προσέγγιση της παραπάνω διγραμμικής μορφής, χρησιμοποιώντας ως μαθηματικά εργαλεία την ανάλυση ιδιαζουσών τιμών ή τη φασματική ανάλυση του πίνακα Α. Στην παρούσα εργασία αναπτύσσονται εκτιμήσεις για πραγματικούς συμμετρικούς και μη συμμετρικούς πίνακες, για μιγαδικούς Ερμιτιανούς, καθώς και για γραμμικούς συμπαγείς τελεστές σε χώρους Hilbert, υπολογίζονται κατάλληλα άνω και κάτω φράγματα για τις εκτιμούμενες ποσότητες και παρουσιάζονται ποικίλα αριθμητικά παραδείγματα από πραγματικές εφαρμογές.