Το αντίστροφο φασματικό πρόβλημα της εύρεσης του δείκτη διάθλασης για το εσωτερικό πρόβλημα διαπερατότητας

Abstract

The main object of this thesis is the investigation of the inverse transmission eigenvalue problem, that is the determination of the refractive index of an inhomogeneous medium from transmission eigenvalues. Using some known results for the case where the refractive index is a radially symmetric and C2 function, we introduce the corresponding interior transmission eigenvalue problem for a discontinuous refractive index. We examine the asymptotic properties of the eigenfunctions for large values of the spectral parameter, and investigate their dependence upon the discontinuity. We prove that the discontinuous refractive index is uniquely determined from the knowledge of all transmission eigenvalues, with no restrictions on the position of the discontinuity.Furthermore, we propose a numerical method to compute transmission eigenvalues.We adopt a Galerkin-type method which is based on the variational formulation of the problem. Using a proper operator representation we show convergence of the method.We define the inverse transmission problem and show that numerically the problem can be considered as an inverse quadratic eigenvalue problem. We investigate the case of a spherically symmetric and piecewise constant refractive index and show that a small number of eigenvalues is sufficient for the reconstructions. We also introduce a computational method based on a Newton-type algorithm for reconstructions of arbitrary piecewise constant index from transmission eigenvalues. We illustrate our method with several examples.Particularly, our aim is to study the properties of the discontinuous transmission eigenvalue problem and examine how the presence of a discontinuity affect the inverse problem. Our work has been motivated by the inverse problem of recovering material properties of a medium with layers with applications in non-destructive testing and target identification.

Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η μελέτη του αντίστροφου εσωτερικού προβλήματος διαπερατότητας (inverse transmission eigenvalue problem), δηλαδή του προσδιορισμού του δείκτη διάθλασης ενός μη ομογενούς μέσου από τις ιδιοτιμές διαπερατότητας (transmission eiegenvalues). Βασιζόμενοι σε γνωστά αποτελέσματα για την περίπτωση όπου ο δείκτης διάθλασης είναι σφαιρικά συμμετρικός και C2 συνάρτηση, διατυπώνουμε το αντίστροφο φασματικό πρόβλημα για τον δείκτη διάθλασης με ασυνέχειες. Διερευνάμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά των ιδιοσυναρτήσεων για μεγάλες τιμές της φασματικής παραμέτρου, και μελετάμε την εξάρτησή τους από την ασυνέχεια. Αποδεικνύουμε ότι ο ασυνεχής δείκτης μπορεί να προσδιοριστεί μοναδικά από τη γνώση όλων των ιδιοτιμών διαπερατότητας, χωρίς περιορισμούς στη θέση της ασυνέχειας.Στη συνέχεια, προτείνουμε μία αριθμητική μέθοδο για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών διαπερατότητας. Υιοθετούμε μία μέθοδο τύπου Galerkin η οποία βασίζεται στη μεταβολική διατύπωση του προβλήματος. Με την κατάλληλη αναπαράσταση του προβλήματος ως ένα πρόβλημα τελεστών αποδεικνύουμε τη σύγκλιση της μεθόδου. Έπειτα, ορίζουμε το αντίστροφο πρόβλημα διαπερατότητας και δείχνουμε ότι το πρόβλημα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα αντίστροφο τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών (inverse quadratic eigenvalue problem). Μελετάμε την περίπτωση του σφαιρικά συμμετρικού και κατά τμήματα σταθερού δείκτη διάθλασης και δείχνουμε ότι ένας σχετικά μικρός αριθμός ιδιοτιμών επαρκεί για τις ανακατασκευές. Επίσης εισάγουμε έναν αλγόριθμο τύπου Newton για ανακατασκευές στη γενική περίπτωση του κατά τμήματα σταθερού δείκτη διάθλασης. Η μέθοδός μας συνοδεύεται από παραδείγματα.Ανακεφαλαιώνοντας, σκοπός μας είναι να μελετήσουμε το ασυνεχές πρόβλημα διαπερατότητας εστιάζοντας στο κατά πόσο η ύπαρξη ασυνεχειών επιδρά στο αντίστροφο πρόβλημα. Κίνητρο για την εργασία μας είναι το αντίστροφο πρόβλημα της εύρεσης ιδιοτήτων υλικών με διαστρωματώσεις, το οποίο έχει εφαρμογή στο μη καταστροφικό έλεγχο και την αναγνώριση αντικειμένων.