Προσδιορισμός πεπερασμένων σεισμικών ρηγμάτων από γεωδαιτικές παρατηρήσεις με βάση την αριθμητική-στοχαστική μέθοδο της τοπολογικής αντιστροφής (αλγόριθμος TOPological INVersion, TOPINV)

Abstract

Various geophysical processes are described by differential equations which may lead to systems of redundant, highly non-linear systems of ordinary equations. In the latter, constant terms derive from measurements and represent stochastic variables, in addition, no approximate values of the solutions of these equations are available. An example is faults reactivated during earthquakes which, in their near-field, produce permanent ground displacements which may be measured by geodetic techniques, usually GPS. Each fault is approximated by a planar surface in an elastic half-space and is defined by 9 variables.No formal methods to solve such problems exist, and various techniques, mostly optimization methods are adopted. The most frequently used methods are (1) to a priori constrain some variables and optimize only 2 or 3, usually through search techniques and using a simple cost function, the mean weighted misfit. And (2) to use a small sample of points in a search space, so that these points and their misfits can be easily treated as 3-D data, and then optimize the search in the vicinity of points with minimum misfit, i.e. identify a point solution. These techniques may lead to solutions trapped in local minima, to correlated solutions or to solutions with poor error control.To overcome these problems, a numerical-topological, exhaustive grid search-based technique in the Rn space is proposed (n the number of unknown variables). This technique is in fact a generalization and refinement of techniques used in lighthouse positioning and in some cases of low-accuracy 2-D positioning. The basic concept is to identify the optimal n-dimensional compact grid space(s) containing the unknown “true” solution(s). This is possible first by transforming the model space into a discrete n-dimensional Grid G and the observation equations into inequalities on the basis of an optimization parameter k and of their standard errors. Then, starting from an objectively selected value of k and using a Boolean approach all gridpoints of grid G are tested, and those satisfying the observations inequalities are identified. If these points define compact spaces, they represent potential solutions approximating the “true” solution. The process is repeated for gradually smaller values of k until the optimal minimum n-dimensional volume containing the true solution is obtained. From the corresponding optimal set of gridpoints a stochastic solution is computed as the first and second statistical moment of the population of the gridpoints.The overall method has been tested with synthetic data using and accuracy-oriented approach, in which the “true” solution is a priori known, on the basis of the precision, accuracy and compactness of the solution.Also, the method was applied in the 2003 Leucas earthquake, Mw 6.2, for modeling a double seismic fault (i.e. inversion of 18 unknowns) providing unbiased results and consistent with the seismological evidence.

Οι σημειακές θραύσεις των πετρωμάτων κατά τη διάρκεια ενός σεισμού προκαλούν μόνιμες παραμορφώσεις στη γύρω βραχόμαζα και περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις. Συνήθως θεωρείται ότι τα ρήγματα μπορούν να προσομοιωθούν από μία ή περισσότερες επίπεδες επιφάνειες θραύσης (πεπερασμένα ρήγματα) σε ελαστικό χώρο, και έχουν προταθεί συστήματα συνήθων εξισώσεων που συνδέουν τα χαρακτηριστικά του κάθε ρήγματος που προσδιορίζονται από 9 μεταβλητές με επιφανειακές παραμορφώσεις (elastic dislocation models). Εάν, οι μόνιμες παραμορφώσεις επεκτείνονται μέχρι και την επιφάνεια του εδάφους και έχουν μετρηθεί με γεωδαιτικές μεθόδους, συνήθως GPS, είναι δυνατόν να δημιουργηθεί σύστημα εξισώσεων παρατήρησης που συνδέει τα χαρακτηριστικά των σεισμικών ρηγμάτων με γεωδαιτικές παρατηρήσεις. Η επίλυση τω συστημάτων αυτών (αντιστροφή) μπορεί να προσδιορίσει τη γεωμετρία και την κινηματική ενός σεισμικού ρήγματος (ή περισσότερων σεισμικών ρηγμάτων). Η αντιστροφή δεν είναι συνήθως δυνατή με τυπικές αλγεβρικές μεθόδους επειδή οι εξισώσεις οδηγούν σε υπερστατικό σύστημα παρατηρήσεων, είναι γενικά εξαιρετικά μη γραμμικές, δεν υπάρχουν διαθέσιμες προσεγγιστικές εκτιμήσεις των χαρακτηριστικών των ρηγμάτων και οι σταθεροί όροι των εξισώσεων (μετρήσεις) χαρακτηρίζονται από αβεβαιότητες (σφάλματα).Για το λόγο αυτό έχουν προταθεί διάφορες αριθμητικές τεχνικές αντιστροφής, συνήθως δειγματοληπτικές (sampling search) βασισμένες στη μέθοδο Monte Carlo, οι οποίες εστιάζονται στην ελαχιστοποίηση μίας αντικειμενικής συνάρτησης (συνάρτηση κόστους, cost function) για συγκεκριμένα πεδία τιμών (χώρο αναζήτησης n διαστάσεων για σύστημα n αγνώστων). Τα βασικά μειονεκτήματα των μεθόδων αυτών είναι a priori δεσμευμένες τιμές αγνώστων, εκτιμήσεις εγκλωβισμένες σε τοπικά ακρότατα, υποτίμηση της αβεβαιότητας των παρατηρήσεων, λύσεις με υψηλό βαθμό συσχέτισης και ελλιπής προσδιορισμός των στατιστικών τους χαρακτηριστικών.Με στόχο να αντιμετωπιστούν τέτοιου είδους προβλήματα, αναπτύχθηκε μια εναλλακτική μέθοδος τοπολογικής/γεωμετρικής αντιστροφής (αλγόριθμος TOPological INVersion, TOPINV) με πηγή έμπνευσης την παραδοσιακή πλοήγηση με χρήση φάρων. Η βέλτιστη λύση δεν βασίζεται σε μία σημειακή ακρότατη λύση, αλλά στον προσδιορισμό ενός n-διάστατου χώρου που περιέχει την «αληθή» λύση. Αυτό επιτυγχάνεται αφενός με τη μετατροπή των εξισώσεων παρατήρησης σε ανισώσεις συναρτήσει των σφαλμάτων των μετρήσεων και μιας παραμέτρου βελτιστοποίησης k. Και αφετέρου με τη μετατροπή του n-διάστατου (υπερ-)χώρου των πιθανών λύσεων σε διακριτό χώρο σημείων. Για επιλεγμένη τιμή της παραμέτρου k και με λογική Boole προσδιορίζονται τα σημεία που ικανοποιούν τις ανισώσεις παρατήρησης (ομοίομορφη αναζήτηση, uniform search), και κατά πόσο ορίζουν συμπαγή χώρο (ή χώρους) n διαστάσεων, ο οποιος εξ ορισμού περιέχει την αληθή λύση του συστήματος των εξισώσεων. Από τον πληθυσμό των σημείων αυτών υπολογίζεται η βέλτιστη λύση (ή λύσεις) και ο αντίστοιχος Πίνακας Μεταβλητότητας-Συμμεταβλητότητας ως πρώτες και δεύτερες στατιστικές ροπές, αντίστοιχα.Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου τεκμηριώνεται με την επίλυση προβλημάτων με βάση συνθετικά δεδομένα, όπου είναι γνωστή η αληθής λύση, και με ανάλυση ευαισθησίας αναφορικά με την συμπαγότητα (compactness) της λύσης, την ακρίβειά της (precision) και την απόκλισή της από την αληθή τιμή (αξιοπιστία, accuracy).Η μέθοδος εφαρμόστηκε σε αντιστροφή γεωδαιτικών παρατηρήσεων για τον προσδιορισμό δύο σεισμικών ρηγμάτων (18 συνολικά άγνωστες μεταβλητές) που ενεργοποιήθηκαν κατά το σεισμό του 2003 της Λευκάδας, μεγέθους 6.2, του πρώτου σεισμού στον Ελληνικό χώρο που καλύφθηκε από εκτενή δεδομένα GPS, προσφέροντας ακριβή λύση χωρίς δεσμεύσεις και συμβατή με ανεξάρτητα σεισμολογικά δεδομένα.