Maximum entropy probability distributions and statistical-stochastic modelling of reinfall

Abstract

Three main issues are examined: (a) the potential to use a theoretical principle, namely the principle of maximum entropy, as a basis for formulating and selecting probabilistic distributions suitable for geophysical variables and more specifically for rainfall, (b) the probabilistic-statistical analysis of daily rainfall and of extreme daily rainfall on a global scale, and (c) the stochastic structure of daily rainfall at fine temporal scales. The main goal of this research is to formulate simple yet fundamental and of wide interest questions, mainly regarding the statistical-stochastic nature of rainfall, and try to provide answers not only of theoretical but mostly of practical value. Regarding the principle of maximum entropy the emphasis is given on formulating and logically justifying simple constraints to be used along with the maximization of the classical definition of entropy, i.e., the Boltzmann-Gibbs-Shannon entropy, that will lead suitable probability distributions for rainfall, or more generally, for geophysical processes. Regarding the statistical analysis of daily rainfall, three different aspects are examined. First, the seasonal variation of daily rainfall is investigated focusing on the properties of its marginal distribution. A massive empirical analysis is performed of more than 170 000 monthly daily rainfall records from more than 14 000 stations from all over the globe aiming to answer two major questions: (a) which statistical characteristics of daily rainfall vary the most over the months and how much, and (b) whether or not there is a relatively simple probability model that can describe the nonzero daily rainfall at every month and every area of the world. Second, the distribution tail of daily rainfall is studied, i.e., the distribution’s part that describes the extreme events. More than 15 000 daily rainfall records are analysed in order to test the performance of four common distribution tails that correspond to the Pareto, the Weibull, the Lognormal and the Gamma distributions aiming to find out which of them better describes the behaviour of extreme events. Third, the annual maximum daily rainfall is analysed. The annual maxima time series from more than 15 000 stations from all over the world are extracted and examined in order to answer one of the most basic questions in statistical hydrology, i.e., which one of the three Extreme Value distributions better describes the annual maximum daily rainfall. Finally, regarding the stochastic properties of rainfall at fine temporal scales, a unique dataset, comprising measurements of seven storm events at a temporal resolution of 5-10 seconds, is studied. The question raised and attempted to be answered is if it is possible for a single and simple stochastic model to generate a plethora of temporal rainfall patterns, as well as to detect the major characteristics of such a model.

Εξετάζονται τρία κυρίως θέματα: (α) η δυνατότητα να χρησιμοποιηθεί μια θεωρητική αρχή, συγκεκριμένα η αρχή της μέγιστης εντροπίας, ως βάση για τη διαμόρφωση και την επιλογή πιθανοτικών κατανομών κατάλληλων για γεωφυσικές μεταβλητές και ειδικότερα για τη βροχόπτωση, (β) η πιθανοτική-στατιστική ανάλυση σε παγκόσμια κλίμακα της ημερήσιας βροχόπτωσης καθώς και της ακραίας ημερήσιας βροχόπτωσης και (γ) η στοχαστική δομή της ημερήσιας βροχόπτωσης σε πολύ μικρή χρονική κλίμακα. Βασικός στόχος της έρευνας είναι να διατυπώσει απλά αλλά θεμελιώδη και ευρέως ενδιαφέροντος ερωτήματα σχετικά με τη στατιστική-στοχαστική φύση της βροχόπτωσης και να δώσει απαντήσεις όχι μόνο θεωρητικής αλλά κυρίως πρακτικής αξίας. Σχετικά με την αρχή της μέγιστης εντροπίας, η έμφαση δίνεται στη διαμόρφωση και στη λογική και θεωρητική τεκμηρίωση απλών περιορισμών που σε συνδυασμό με τον κλασικό ορισμό της εντροπίας, δηλαδή αυτού των Boltzmann-Gibbs-Shannon, θα οδηγούν σε ευέλικτες και απλές κατανομές κατάλληλες για την πιθανοτική περιγραφή της βροχόπτωσης αλλά και άλλων γεωφυσικών μεταβλητών. Για τη στατιστική ανάλυση της ημερήσιας βροχόπτωσης, εξετάστηκαν τρεις διαφορετικές πτυχές της. Πρώτον, η εποχιακή διακύμανση της με επίκεντρο στις ιδιότητες της περιθώριας κατανομή της. Συγκεκριμένα εκπονήθηκε μια μαζική εμπειρική ανάλυση περισσότερων από 170 000 μηνιαίων δειγμάτων βροχόπτωσης σε περισσότερους από 14 000 σταθμούς σε όλο τον κόσμο με στόχο να απαντηθούν δύο βασικά ερωτήματα: (α) ποια στατιστικά χαρακτηριστικά της ημερήσιας βροχόπτωσης παρουσιάζουν τη μεγαλύτερη εποχιακή διακύμανση, και (β) κατά πόσον υπάρχει ή όχι ένα σχετικά απλό πιθανοτικό μοντέλο ικανό να περιγράψει τη θετική ημερήσια βροχόπτωση για κάθε μήνα και σε κάθε περιοχή του κόσμου. Δεύτερον, εξετάζεται η ουρά της κατανομής της ημερήσιας βροχόπτωσης, δηλαδή, το μέρος της κατανομής που περιγράφει τα ακραία γεγονότα. Αναλύθηκαν ακραίες βροχοπτώσεις σε περισσότερους από 15 000 σταθμούς και συγκρίθηκε η απόδοση τεσσάρων κοινών πιθανοτικών μοντέλων ουράς που αντιστοιχούν στις κατανομές Pareto, Weibull, Λογαριθμοκανονικής και Γάμα. Σκοπός ήταν να αποκαλυφθεί ποιος τύπος ουράς περιγράφει καλύτερα τη συμπεριφορά των ακραίων γεγονότων. Τρίτον, αναλύονται οι χρονοσειρές της ετήσιας μέγιστης ημερήσιας βροχόπτωσης σε περισσότερους από 15 000 σταθμούς με στόχο να απαντηθεί ίσως το βασικότερο ερώτημα της στατιστικής υδρολογίας, δηλαδή, ποια εκ των τριών κατανομών ακραίων τιμών περιγράφει καλύτερα τα ετήσια μέγιστα της ημερήσιας βροχόπτωσης. Τέλος, εξετάζονται οι στοχαστικές ιδιότητες της βροχόπτωσης σε λεπτή χρονική κλίμακα, μελετώντας ένα μοναδικό σύνολο δεδομένων που περιλαμβάνει μετρήσεις επτά επεισοδίων βροχόπτωσης με χρονική διακριτότητα 5-10 δευτερόλεπτων. Το ερώτημα που τίθεται και επιχειρείται να απαντηθεί είναι αν είναι δυνατόν ένα μοναδικό και απλό στοχαστικό μοντέλο να αναπαράγει τη μεγάλη στατιστική διαφοροποίηση που παρατηρήθηκε στα επεισόδια αυτά.