Ηλεκτρομαγνητικές (Η/Μ) μέθοδοι για τον υπολογισμό διάδοσης της ακτινοβολίας από κατακόρυφο δίπολο πάνω από επίπεδη γη: προσέγγιση του προβλήματος στον φασματικό χώρο

Abstract

In this Ph.D. thesis we re-consider the problem of radiation from a vertical short (Hertzian) dipole above flat lossy ground, which represents the well-known in the literature ‘Sommerfeld radiation problem’. Particularly, we investigate the solution of the problem in the spectral domain, which ends-up with simple one dimensional (1-D) integral expressions for the received electromagnetic (EM) field (exact formulation of the above problem). The advantage of the derived expressions is based on the fact that they can be analytically evaluated in the high frequency regime through the use of the Stationary Phase Method (SPM). This formulation appears to have inherent advantages over the classical formulation by Sommerfeld, performed in the spatial domain, and over other known formulations, since it avoids the use of the so–called Hertz potential and its subsequent differentiation for the calculation of the received electromagnetic field. In addition, numerical results for the received EM field are presented, based on our analytical SPM solution. Moreover, numerical comparisons are performed with other known solutions of the problem, such as those presented by Norton, King and Sarkar. In this Ph.D. thesis, detailed numerical comparisons are also performed between our analytical SPM solution and the results derived by numerical integration of the above exact integral representations for the received EM field for a wide range of carrier frequencies and distances between the transmitter and the receiver. To our knowledge, the literature lacks specifying the exact frequency range over which the SPM method is applicable. These comparisons are then used as the basis of determining the frequency limits of applicability of the SPM solution. Furthermore, as a result of the numerical calculations of ours, it is found that neither the horizontal distance between the transmitter and receiver, nor the frequency of operation are alone sufficient indicators regarding the most appropriate method to use (SPM or Numerical Integration) when estimating the signal level at the receiver’s position. Instead, our results show that such a decision is to be based on their combined effect, as given by their product k·r, commonly known as the ‘electric distance’. In fact it is shown that due to the specific peculiarities of the integrated expressions, which possess certain singularities, it is often preferable to use the SPM method as the best estimate for the received signal level, especially for most practical frequencies of interest in the area of wireless telecommunications. Additional practical implications, that these findings suggest, as well as further research to be triggered, as a result of the overall progress that has been made by our research group so far on the specific subject, are provided as well.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή εξετάζουμε το πρόβλημα της ακτινοβολίας από ένα κατακόρυφο ηλεκτρικά μικρό δίπολο (δίπολο του Hertz), που βρίσκεται πάνω από επίπεδο έδαφος με απώλειες. Το ζήτημα αυτό είναι το γνωστό στη βιβλιογραφία "πρόβλημα διάδοσης της ακτινοβολίας του Sommerfeld”. Συγκεκριμένα, επιλύουμε εδώ το εν λόγω πρόβλημα στον φασματικό χώρο, καταλήγοντας σε απλές μονοδιάστατες ολοκληρωτικές εκφράσεις για το λαμβανόμενο ηλεκτρομαγνητικό (ΗΜ) πεδίο υπεράνω και κάτω από το επίπεδο έδαφος, και ακολούθως σε κλειστές αναλυτικές εκφράσεις για το ΗΜ πεδίο υπεράνω του εδάφους. Το τελευταίο βήμα, ανωτέρω, επιτυγχάνεται στην περιοχή των υψηλών συχνοτήτων, με την χρήση της ‘Μεθόδου Στάσιμης Φάσης’ (Stationary Phase Method, SPM). Αυτή η μεθοδολογία φαίνεται να παρουσιάζει σημαντικά πλεονεκτήματα σε σύγκριση με την κλασσική προσέγγιση του Sommerfeld, η οποία υλοποιείται στο πεδίο του χώρου, καθώς και άλλων γνωστών ερευνητών, αφού αποφεύγουμε την χρήση του δυναμικού Hertz και τη συνεπαγόμενη δυσκολία, που αυτό επιφέρει στον υπολογισμό του λαμβανόμενου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Τα αριθμητικά αποτελέσματα για το λαμβανόμενο ηλεκτρομαγνητικό (ΗΜ) πεδίο στον δέκτη, που εξάγονται στην παρούσα μελέτη μέσω της SPM, παρουσιάζονται αναλυτικά και συγκρίνονται με τις αντίστοιχες λύσεις των Norton, King και Sarkar. Στη συνέχεια, πραγματοποιούνται αριθμητικές συγκρίσεις μεταξύ της αναλυτικής επίλυσης με SPM και της επίλυσης μέσω αλγορίθμου αριθμητικής ολοκλήρωσης (Numerical Integration, NI) για το λαμβανόμενο Η/Μ πεδίο σε μεγάλο εύρος συχνοτήτων και αποστάσεων μεταξύ πομπού και δέκτη. Με βάση τα συμπεράσματα των ανωτέρω συγκρίσεων καθορίζεται το ακριβές εύρος συχνοτήτων και αποστάσεων μεταξύ πομπού και δέκτη, στο οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί και να είναι αποτελεσματική η SPM. Ωστόσο, ως αποτέλεσμα των αριθμητικών υπολογισμών μας, διαπιστώσαμε ότι ούτε η οριζόντια απόσταση μεταξύ του πομπού και του δέκτη, ούτε η συχνότητα λειτουργίας είναι από μόνες τους επαρκείς δείκτες σχετικά με την καταλληλότερη μέθοδο (SPM ή Αριθμητική Ολοκλήρωση) για την εκτίμηση των επιπέδων του σήματος στον δέκτη. Ως εκ τούτου, τα αποτελέσματά μας δείχνουν ότι μια τέτοια απόφαση θα πρέπει να βασίζεται στον συνδυασμό τους, όπως δίνεται από το γινόμενο k · r, που είναι γνωστό και ως ‘ηλεκτρική απόσταση’. Στην πράξη αποδεικνύεται ότι λόγω συγκεκριμένων ιδιομορφιών των ολοκληρωτικών εκφράσεων, οι οποίες παρουσιάζουν ορισμένες ασυνέχειες, είναι συχνά προτιμητέο να χρησιμοποιείται η Μέθοδος Στάσιμης Φάσης, ώστε να βελτιστοποιηθεί ο υπολογισμός των επιπέδων των σημάτων και ειδικότερα για υψηλές συχνότητες (VHF, UHF), οι οποίες χρησιμοποιούνται ευρέως στις ασύρματες τηλεπικοινωνίες. Τέλος, αναφερόμαστε στις πρακτικές εφαρμογές, στις οποίες είναι εφικτό να αξιοποιηθούν τα συμπεράσματα της παρούσας διατριβής, καθώς επίσης και στην επιπλέον έρευνα, που στοχεύει να πραγματοποιήσει η ερευνητική μας ομάδα στο άμεσο μέλλον.