Μη παραμετρική προσέγγιση σε πειραματικούς σχεδιασμούς: γενικευμένες μη παραμετρικές υποθέσεις σε ανισόβαρα F στατιστικά

Abstract

The rank transform (RT) of a classical test occurs when we replace all the observations in the classical test statistic with their ranks in the set of all observations. The RT statistics were studied only in special cases and on the basis of these partial results the assertion of their general validity was formulated. Subsequent research has shown that this assertion is wrong and the RT procedure is inappropriate for testing many parametric hypotheses. This is due to two reasons. The first reason is that the parametric hypotheses are not invariant under nonlinear transformations of the data, such as the RT. This problem was solved with the introduction of nonparametric hypotheses by Akritas & Arnold (1994) which are defined in terms of distribution functions and are invariant under nonlinear monotone transformations. The second reason is due to the heteroscedasticity that is produced by the nonlinear transformations. This problem is solved with the use of weighted statistics. In this thesis we develop a methodology that is relevant to the RT methodology. We use subspaces to describe the nonparametric null hypotheses, which leads to a natural extension of the models and the class of nonparametric hypotheses considered there. To test these generalized hypotheses we introduce a new family of midrank statistics which are based on weighted F-statistics and are appropriate for unbalanced heteroscedastic designs with independent observations such as factorial and nested designs, and with dependent observations such as repeated measures designs. The procedures given are also applicable to discrete data and, since continuity of the distribution functions is not assumed, they can also be applied to data with ties. We show that the proposed statistics converge in distribution to central chi-squared distributions under their respective null hypotheses. With simulation studies we examine the speed of convergence of the new statistics and compare their achieved error rate and power with that of competing procedures in unsaturated factorial designs, nested designs and unsaturated repeated measures designs.

Ο μετασχηματισμός τάξεων (ΜΤ) ενός κλασικού ελέγχου συμβαίνει όταν αντικαταστήσουμε όλες τις παρατηρήσεις στο κλασικό ελεγχοστατιστικό με τις τάξεις τους στο σύνολο όλων των παρατηρήσεων. Τα στατιστικά ΜΤ μελετήθηκαν μόνο σε ειδικές περιπτώσεις και βάσει των μερικών αυτών αποτελεσμάτων διατυπώθηκε ο ισχυρισμός της γενικής εγκυρότητάς τους. Μεταγενέστερη έρευνα έδειξε ότι ο ισχυρισμός αυτός είναι λανθασμένος και η διαδικασία ΜΤ είναι ακατάλληλη για τον έλεγχο πολλών παραμετρικών υποθέσεων. Αυτό οφείλεται σε δύο λόγους. Ο πρώτος είναι ότι οι παραμετρικές υποδέσεις αλλοιώνονται υπό μη γραμμικούς μετασχηματισμούς των δεδομένων, όπως ο ΜΤ. Αυτό το πρόβλημα λύθηκε με την εισαγωγή μη παραμετρικών υποθέσεων από τους Akritas & Arnold (1994) οι οποίες ορίζονται με όρους των συναρτήσεων κατανομής και είναι αμετάβλητες κάτω από μη γραμμικούς μονότονους μετασχηματισμούς. Ο δεύτερος λόγος οφείλεται στην ετεροσκεδαστικότητα που επιφέρουν οι μη γραμμικοί μετασχηματισμοί. Αυτό το πρόβλημα επιλύεται με τη χρήση ανισοβαρών στατιστικών. Στη διατριβή αυτή αναπτύσσουμε μία μεθοδολογία συναφή προς τη μεθοδολογία ΜΤ. Χρησιμοποιούμε υπόχωρους για να περιγράψουμε τις μη παραμετρικές μηδενικές υποδέσεις, γεγονός που οδηγεί σε μία φυσική επέκταση των μοντέλων και της κλάσης των μη παραμετρικών υποθέσεων που μελετώνται εκεί. Για να ελέγξουμε αυτές τις γενικευμένες υποδέσεις εισάγουμε μία νέα οικογένεια στατιστικών μεσοτάξεων τα οποία βασίζονται σε ανισόβαρα F-στατιστικά και είναι κατάλληλα για ανισοβαρούς ετεροσκεδαστικούς σχεδιασμούς με ανεξάρτητες παρατηρήσεις, όπως παραγοντικούς και εμφωλευμένους σχεδιασμούς, και με εξαρτημένες παρατηρήσεις, όπως σχεδιασμούς επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Οι διαδικασίες που δίνονται είναι επίσης εφαρμόσιμες σε διακριτά δεδομένα και, εφόσον δεν υποτίθεται η συνέχεια των συναρτήσεων κατανομής, μπορούν να εφαρμοστούν επίσης σε δεδομένα με ισοπαλίες. Δείχνουμε ότι τα προτεινόμενα στατιστικά συγκλίνουν κατά κατανομή σε κεντρικές χ² κατανομές κάτω από τις αντίστοιχες μηδενικές υποθέσεις. Με μελέτες προσομοίωσης εξετάζουμε την ταχύτητα σύγκλισης των νέων στατιστικών και συγκρίνουμε το επιτυγχανόμενο επίπεδο σφάλματος και ισχύος τους με εκείνα ανταγωνιστικών διαδικασιών σε μη κορεσμένους παραγοντικούς σχεδιασμούς, σε εμφωλευμένους σχεδιασμούς και σε μη κορεσμένους σχεδιασμούς επαναλαμβανόμενων μετρήσεων.