ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Abstract

FOR THE MATRIX POLYNOMIAL P(Λ)=AMΛ^M+...+A1Λ+A0, WHERE Λ BELONGS TO R AND THE COEFFICIENTS AJ (J=0, 1,..., M) ARE NXN MATRICES, THE SET NR[P(Λ)]={Λ BELONGS TO C: X*P(Λ)X=0, X BELONGS TO C^N\{O}} IS KNOWN AS NUMERICAL RANGE OF P(Λ). IT IS PROVED THAT NR[P(Λ)]U{0} IS (ABSTRACT TRUNCATED)

ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟ ΠΙΝΑΚΑ Ρ(Λ)=ΑMΛ^M+...+Α1Λ+Α0, ΟΠΟΥ Λ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΟ C ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΑJ (J=0, 1,..., M) ΕΙΝΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ, ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ NR[P(Λ)]= {Λ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΟ C : X*P(Λ)Χ=U, X ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΟ C^N\{0}} ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ Ρ(Λ). ΑΠΟΔΕΙΧΘΗΚΕ ΟΤΙ ΤΟ NR[P(Λ)]U{0} ΕΙΝΑΙ ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΤΟΥ NR[L(Λ)], ΟΠΟΥ L(Λ) ΕΙΝΑΙ Ο ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ ΤΟΥ Ρ(Λ), ΕΝΤΟΠΙΣΘΗΚΕ ΤΟ NR[P(Λ)] ΩΣ ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΔΑΚΤΥΛΙΟΥ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΥΠΩΘΗΚΕ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ NR[P(Λ)] ΚΑΙ NR[P^-1(Λ)]. ΔΙΕΡΕΥΝΗΘΗΚΑΝ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΟΥ NR[P(Λ)] ΚΙΑΠΟΔΕΙΧΘΗΚΕ ΟΤΙ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ, ΤΑ ΚΩΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ NR[P(Λ)] ΕΙΝΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΤΟΥ Ρ(Λ). ΔΙΑΤΥΠΩΘΗΚΑΝ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΟΥ NR[P(Λ)] ΚΑΙ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΗΣ (M+1)-ΑΔΑΣ (Α0, Α1,..., ΑM. ΤΟ NR[P(Λ)] ΣΧΕΤΙΖΕΤΑΙ ΑΜΕΣΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ P(Λ)=(ΛΙ - ZM)...(ΛΙ - Ζ2) (ΛΙ - Ζ1) ΚΑΙ ΔΙΑΤΥΠΩΝΟΝΤΑΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΩΣΤΕ ΤΟ NR[P(Λ)] ΝΑ ΕΧΕΙ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ. ΤΕΛΟΣ, ΜΕΛΕΤΑΤΑΙ ΤΟΣΥΝΟΛΟ NR[P(Λ)] ΤΟΜΗ ΣΤΟ R, ΟΤΑΝ Ο Ρ(Λ) ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ, ΔΗΛΑΔΗ ΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΑJ ΕΙΝΑΙ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ.