Local invariants of four-dimensional Riemannian manifolds and their application to the Ricci flow

Abstract

In this thesis, we study the four-dimensional Ricci flow with the help of local invariants. If (M^4, g(t)) is a solution to the Ricci flow and x ∈ M, we can associate to the point x a one-parameter family of curves, which lie on a smooth quadric in P(T_x M ⊗ C). This allows us to reformulate the Cheeger-Gromov-Hamilton Compactness Theorem in the context of these curves. Furthermore we study Type I singularities in dimension four and give a characterization of the corresponding singularity models in the context of these curves as well.

Σε αυτή τη διατριβή μελετάμε την τετραδιάστατη ροή Ρίτσι με τη βοήθεια τοπικών αναλλοίωτων. Εάν (M^4, g(t)) είναι μία λύση της ροής Ρίτσι και x ∈ M, μπορούμε να συσχετίσουμε στο σημείο x μία μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων, που κείνται σε μία λεία τετραγωνική επιφάνεια στον P(T_x M ⊗ C). Αυτό μας επιτρέπει να επαναδιατυπώσουμε το θεώρημα συμπάθειας των Cheeger-Gromov-Hamilton στο πλαίσιο αυτών των καμπύλων. Επίσης μελετάμε ιδιομορφίες Τύπου Ι στη διάσταση τέσσερα και δίνουμε έναν χαρακτηρισμό των αντίστοιχων μοντέλων ιδιομορφίας στο πλαίσιο αυτών των καμπυλών