Dynamic optimization and revenue management: capacity constraints and market competition

Abstract

Dynamic pricing of products or services by firms is about them adjusting to market circumstances in a search for the prices that will maximize their intertemporal profits. In the real world, this is a phenomenon more often observed than not. It has always been of use, like in bazaars where stock levels and the time of day have a significant impact on the prices. Today, digital and other technological advancements have given the means to many firms in different markets to successfully implement such methods in more sophisticated ways. Numerous economic sectors currently employ dynamic pricing, like the airline industry, public transportation, hospitality, seasonal goods but also in relation to the rapid growth of e-commerce, online retailers, entertainment and sports events, rideshare services, as well as brands, electricity or other energy markets. This thesis studies the pricing decisions of firms when they have inventories or in other words a fixed capacity that consists of a given number of units, to sell over time. In the first chapter, we present the monopoly problem and the optimal solutions to its finite-horizon and infinite-horizon versions. This is a well-studied case in the literature, especially in operations research, where models of dynamic pricing often study a firm with a fixed inventory over a finite horizon. Given that a firm has an inventory, it resorts to price-based revenue management to maximize its intertemporal expected profits as it cannot adjust quantity. In this problem, the optimal price increases in the available time but decreases in the capacity level, and the expected profits increase in both capacity and available time. In the second chapter, we study the effects of capacity constraints on profits and prices in a competitive (strategic) setting. How does the presence of a competitor firm affect the monopoly prices paths? The price will certainly be lower than the monopoly price but, will it be higher or lower than the rival’s price? And how are these prices affected by both firms’ capacities? In our model, formally we assume that only one buyer arrives every period with unit demand and, depending on the prices set, there is a positive probability of no-sale by either firm. Competition takes place in discrete time and there are intertemporal capacity constraints to firms who simultaneously post their prices before observing the buyer’s location in each period. The buyers’ locations are drawn each period from a known distribution. Only one firm may sell in each period, or else, no firm can sell more units than the number of periods left. Firms seek to maximize their intertemporal expected profits and we solve backwards for the equilibrium prices. We characterize the equilibrium price paths, where the two sellers set prices period after period (simultaneously in each period) depending on how capacities evolve stochastically over time. In the third chapter, we extend this model by adding endogenous product differentiation (or locations). We utilize Hotelling’s model in a dynamic framework of a two-stage game where firms can simultaneously first choose their location once within a line segment of unit length, before competing for multiple periods on prices that they simultaneously post each period. Again, firms seek to maximize their intertemporal expected profits and we solve for the equilibrium locations and prices. We examine how different intertemporal capacity constraints affect the location choices and the subsequent equilibrium prices. From the firms’ perspective, we can regard locations as a type of commitment, like an investment, infrastructure, or advertising, that affects differentiation between firms and lasts at least until the end of the second (pricing) stage. We show that capacities’ asymmetry can significantly impact location choices and even force the low-capacity firm at an endpoint with the high-capacity firm in the middle of the market. The latter is willing to locate in the middle of the market with his rival and if necessary, sell some units at marginal cost. Our model considers both locations’ asymmetries and capacities’ asymmetries and produces a rich equilibrium pricing behavior for firms. Given the remaining time, the level of competition increases in reservation price and locations asymmetry but decreases in discount factor, firms’ distance, and capacities’ asymmetry. The firm in the middle has enough market power to dictate pricing strategies and extract more (expected) value from the buyer than its rival at the endpoint. We also show that, if the high-capacity firm is at an endpoint of the market it will post a lower price than the low-capacity firm when the capacities’ asymmetry is high enough. In locationally asymmetric states, we have the firm located in the middle decreasing its price when the reservation price gets high enough, which is the point where the competitive solution is internal and unique. When this happens, the firm in the middle still has an incentive to lower its price to cover the market towards the empty endpoint while, the firm at the other endpoint will lose its market share if it does not follow or will lower its price to preserve its market share, which translates into lower expected value. For a range of the parameter values the optimal policy of the firm in the middle is such that its endpoint market is covered, and for that range this firm gets unresponsive to rival’s price changes. Regarding market structure and coverage, the pattern is always the same: if the reservation price is high enough, then firms find more profitable to undercut their rival but, for low values of reservation price the optimal solution implies local monopolies. For intermediate values we obtain ‘just touching’ local monopolies, and for high values full pledged competition. We identify these thresholds for all states and study the effect of location and capacities’ asymmetries on market coverage.

Η δυναμική τιμολόγηση προϊόντων ή υπηρεσιών από τις επιχειρήσεις αφορά την προσαρμογή τους στις συνθήκες της αγοράς σε μια αναζήτηση των τιμών που θα μεγιστοποιήσουν τα διαχρονικά τους κέρδη. Στον πραγματικό κόσμο αυτή είναι μια πρακτική που παρατηρείται αρκετά συχνά. Ήταν πάντα χρήσιμη, όπως σε παζάρια όπου τα επίπεδα των αποθεμάτων και η ώρα της ημέρας έχουν σημαντικό αντίκτυπο στις τιμές. Σήμερα, οι ψηφιακές και άλλες τεχνολογικές εξελίξεις έχουν δώσει τα μέσα σε πολλές εταιρείες σε διαφορετικές αγορές να εφαρμόσουν με επιτυχία τέτοιες μεθόδους με πιο εξελιγμένους τρόπους. Πολλοί οικονομικοί τομείς χρησιμοποιούν σήμερα δυναμική τιμολόγηση, όπως η αεροπορική βιομηχανία, οι δημόσιες μεταφορές, τα τουριστικά καταλύματα, τα εποχιακά αγαθά, αλλά και σε σχέση με την ταχεία ανάπτυξη του ηλεκτρονικού εμπορίου, των διαδικτυακών πωλήσεων λιανικής, των ψυχαγωγικών και αθλητικών εκδηλώσεων, των υπηρεσιών κοινής ωφέλειας, καθώς και τις επώνυμες εταιρίες, την αγορά ηλεκτρικής ενέργειας ή άλλες αγορές ενέργειας. Αυτή η διατριβή μελετά τις αποφάσεις τιμολόγησης των επιχειρήσεων όταν έχουν αποθέματα ή με άλλα λόγια μια σταθερή χωρητικότητα που αποτελείται από έναν δεδομένο αριθμό μονάδων, για να πουλήσουν με την πάροδο του χρόνου.Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε το πρόβλημα του μονοπωλίου και τις βέλτιστες λύσεις σε πεπερασμένο και άπειρο χρονικό ορίζοντα. Αυτή είναι μια καλά μελετημένη περίπτωση στη βιβλιογραφία, ειδικά στην επιχειρησιακή έρευνα, όπου τα μοντέλα δυναμικής τιμολόγησης συχνά μελετούν μια επιχείρηση με σταθερό απόθεμα σε έναν πεπερασμένο ορίζοντα. Δεδομένου ότι μια επιχείρηση έχει ένα απόθεμα, καταφεύγει στη διαχείριση εσόδων με βάση τις τιμές για να μεγιστοποιήσει τα διαχρονικά προσδοκώμενα κέρδη της, καθώς δεν μπορεί να προσαρμόσει την ποσότητα. Σε αυτό το πρόβλημα, η βέλτιστη τιμή αυξάνεται στο διαθέσιμο χρόνο αλλά μειώνεται στο επίπεδο αποθέματος και τα προσδοκώμενα κέρδη αυξάνονται τόσο στο απόθεμα όσο και στο διαθέσιμο χρόνο. Στο δεύτερο κεφάλαιο, μελετάμε τις επιπτώσεις των περιορισμών δυναμικότητας στα κέρδη και στις τιμές σε ένα ανταγωνιστικό (στρατηγικό) πλαίσιο. Πώς η παρουσία μιας ανταγωνιστικής εταιρείας επηρεάζει την εξέλιξη των μονοπωλιακών τιμών; Η τιμή θα είναι σίγουρα χαμηλότερη από την τιμή του μονοπωλίου, αλλά θα είναι υψηλότερη ή χαμηλότερη από την τιμή του αντιπάλου; Και πώς επηρεάζονται αυτές οι τιμές από το απόθεμα της κάθε εταιρίας; Στο μοντέλο μας, τυπικά υποθέτουμε ότι μόνο ένας αγοραστής φθάνει κάθε περίοδο με μοναδιαία ζήτηση και, ανάλογα με τις τιμές που έχουν καθοριστεί, υπάρχει θετική πιθανότητα μη πώλησης από οποιαδήποτε εταιρεία. Ο ανταγωνισμός λαμβάνει χώρα σε διακριτό χρόνο και υπάρχουν διαχρονικοί περιορισμοί δυναμικότητας για τις επιχειρήσεις που ανακοινώνουν ταυτόχρονα τις τιμές τους πριν παρατηρήσουν την τοποθεσία του αγοραστή σε κάθε περίοδο. Οι τοποθεσίες των αγοραστών προέρχονται κάθε περίοδο από μια γνωστή κατανομή. Μόνο μία εταιρεία μπορεί να πουλήσει σε κάθε περίοδο, ή αλλιώς, καμία εταιρεία δεν μπορεί να πουλήσει περισσότερες μονάδες από τον αριθμό των περιόδων που απομένουν. Οι επιχειρήσεις επιδιώκουν να μεγιστοποιήσουν τα διαχρονικά προσδοκώμενα κέρδη τους και λύνουμε αντίστροφα για τις τιμές ισορροπίας. Χαρακτηρίζουμε την εξέλιξη των τιμών ισορροπίας, όπου οι δύο πωλητές ανακοινώνουν τις τιμές περίοδο με περίοδο (ταυτόχρονα σε κάθε περίοδο) ανάλογα με το πώς εξελίσσονται στοχαστικά τα αποθέματα με την πάροδο του χρόνου. Στο τρίτο κεφάλαιο, επεκτείνουμε αυτό το μοντέλο προσθέτοντας ενδογενή διαφοροποίηση προϊόντων (ή τοποθεσίες). Χρησιμοποιούμε το μοντέλο του Hotelling σε ένα δυναμικό πλαίσιο ενός παιχνιδιού δύο σταδίων όπου οι επιχειρήσεις μπορούν ταυτόχρονα πρώτα να επιλέξουν την τοποθεσία τους μία φορά μέσα σε ένα τμήμα γραμμής μήκους μίας μονάδας, προτού ανταγωνιστούν για πολλές περιόδους στις τιμές που ανακοινώνουν ταυτόχρονα κάθε περίοδο. Και πάλι, οι εταιρείες επιδιώκουν να μεγιστοποιήσουν τα διαχρονικά προσδοκώμενα κέρδη τους και εμείς λύνουμε για τις τοποθεσίες και τις τιμές ισορροπίας. Εξετάζουμε πώς οι διαφορετικοί διαχρονικοί περιορισμοί δυναμικότητας επηρεάζουν τις επιλογές τοποθεσίας και τις επακόλουθες τιμές ισορροπίας. Από την πλευρά των εταιρειών, μπορούμε να θεωρήσουμε τις τοποθεσίες ως ένα είδος δέσμευσης, όπως είναι μια επένδυση, υποδομή ή διαφήμιση, που επηρεάζει τη διαφοροποίηση μεταξύ των επιχειρήσεων και διαρκεί τουλάχιστον μέχρι το τέλος του δεύτερου σταδίου (τιμολόγησης). Δείχνουμε ότι η ασυμμετρία στα αποθέματα μπορεί να επηρεάσει σημαντικά τις επιλογές τοποθεσίας, μέχρι και να αναγκάσει την επιχείρηση χαμηλού αποθέματος να τοποθετηθεί στην άκρη της αγοράς με την εταιρεία υψηλού αποθέματος στη μέση της αγοράς. Η τελευταία είναι πρόθυμη να τοποθετηθεί στη μέση της αγοράς μαζί με τον αντίπαλό της και αν χρειαστεί να πουλήσει κάποιες μονάδες στο οριακό κόστος. Το μοντέλο μας λαμβάνει υπόψη τόσο τις ασυμμετρίες των τοποθεσιών όσο και τις ασυμμετρίες δυναμικότητας και παράγει μια πλούσια συμπεριφορά τιμολόγησης ισορροπίας για τις επιχειρήσεις. Δεδομένου του χρόνου που απομένει, το επίπεδο ανταγωνισμού αυξάνεται στην τιμή επιφύλαξης και στην ασυμμετρία τοποθεσιών, αλλά μειώνεται στον συντελεστή προεξόφλησης, στην απόσταση των εταιρειών και στην ασυμμετρία των αποθεμάτων. Η επιχείρηση στη μέση έχει αρκετή δύναμη αγοράς για να υπαγορεύσει τις στρατηγικές τιμολόγησης και να αποσπάσει περισσότερη (προσδοκώμενη) αξία από τον αγοραστή σε σχέση με τον αντίπαλό της που βρίσκεται στην άκρη της αγοράς. Δείχνουμε επίσης ότι, εάν η επιχείρηση υψηλού αποθέματος βρίσκεται σε ένα άκρο της αγοράς, θα έχει χαμηλότερη τιμή από την επιχείρηση χαμηλού αποθέματος όταν η ασυμμετρία των αποθεμάτων είναι αρκετά υψηλή. Σε καταστάσεις με ασύμμετρες τοποθεσίες, η εταιρεία που βρίσκεται στη μέση μειώνει την τιμή της όταν η τιμή επιφύλαξης είναι αρκετά υψηλή, όπου η ανταγωνιστική λύση είναι εσωτερική και μοναδική. Όταν συμβεί αυτό, η επιχείρηση στη μέση εξακολουθεί να έχει κίνητρο να μειώσει την τιμή της για να καλύψει την αγορά προς το κενό άκρο της αγοράς, ενώ η εταιρεία στο άλλο άκρο θα χάσει μερίδιο αγοράς εάν δεν ακολουθήσει ή θα μειώσει την τιμή της για να διατηρήσει το υπάρχον μερίδιο αγοράς, το οποίο μεταφράζεται σε χαμηλότερη προσδοκώμενη αξία. Για ένα εύρος τιμών παραμέτρων, η βέλτιστη πολιτική της εταιρείας στη μέση είναι τέτοια ώστε μόλις να καλύπτεται το κενό άκρο της αγοράς και για αυτό το εύρος αυτή η εταιρεία δεν ανταποκρίνεται στις αλλαγές τιμών του αντιπάλου της.Όσον αφορά τη δομή και την κάλυψη της αγοράς, το μοτίβο είναι πάντα το ίδιο: εάν η τιμή επιφύλαξης είναι αρκετά υψηλή, τότε οι εταιρείες βρίσκουν πιο κερδοφόρο να υποτιμολογήσουν τον αντίπαλό τους, αλλά, για χαμηλές τιμές επιφύλαξης η βέλτιστη λύση συνεπάγεται τοπικά μονοπώλια. Για ενδιάμεσες τιμές επιφύλαξης έχουμε τοπικά μονοπώλια μεταξύ των οποίων υπάρχει μόνο ένας αγοραστής που είναι αδιάφορος από ποια εταιρία θα αγοράσει, και για υψηλές τιμές πλήρη ανταγωνισμό. Προσδιορίζουμε τα όρια αυτά των τιμών επιφύλαξης για όλες τις καταστάσεις και μελετάμε την επίδραση της ασυμμετρίας τοποθεσιών και δυναμικότητας στην κάλυψη της αγοράς.