Game theory and dynamic mechanisms on graphs

Abstract

In this thesis, game theoretic and control methods have been applied in problems arising indecentralised networked systems. Three applications have been considered. The first dealswith opinion dynamics and manipulation in social networks. The second is related to thespontaneous response of a population to an epidemic outbreak through social distancing. Thethird introduces a stochastic consensus protocol for finite-time coordination of agents withhigh-order dynamics. In these three applications, the structure of the system is interconnected,the agents possess some kind of intelligence and act in a decentralised way. So, either gamesituations arise and the equilibria are studied or decentralised control protocols are necessaryto achieve some collective goal.In the first application, a social choice procedure is modeled as a Nash game among theagents. The agents are communicating with each other through a communication network e.g.,a social network, modeled by an undirected graph and their opinions follow a dynamic rulemodelling conformity. The agents’ criteria for this game are describing a trade off betweenself-consistent and manipulative behaviors. Their best response strategies are resulting in adynamic rule for their actions. The stability properties of these dynamics are studied. In thecase of instability, which arises when the agents are highly manipulative, the stabilization ofthese dynamics through the design of the network topology is formulated as a constrainedinteger programming problem. The constraints have the form of a Bilinear Matrix Inequality(BMI), which is known to result in a nonconvex feasible set in the general case. To deal withthis problem a genetic algorithm, which uses a Linear Matrix Inequality (LMI) solver duringthe selection procedure, is designed.The second application deals with the choice of a population to apply social distancing,which is modeled as a Nash game where the agents determine their social interactions. Theinterconnections among the agents are modeled by a network. The information availableto the agents plays a crucial role. Two information patterns are examined, the case that theagents know exactly the health states of their neighbors and the case they have only statisticalinformation for the global prevalence of the epidemic. The agents are considered to bemyopic, and thus, the Nash equilibria of static games for each day are studied. The Nashequilibria are characterized and algorithms are introduced to compute them. Moreover, the effects of the network structure, the virus transmissibility, the number of vulnerable agents,the health care system capacity and the information quality (fake news) are examined throughsimulations.In the third application a novel stochastic minimum-maximum consensus protocol isintroduced and analyzed. The stochastic mixing and the low computational effort makethis protocol well suited for secure consensus in cyber-physical systems, composed byautonomous agents with limited resources. It is proven that the protocol converges almostsurelyin finite time. Furthermore, the application of the stochastic consensus protocolcoupled with a finite-time control law on a distributed system of agents with high-orderdynamics is considered and it is proven that the agents’ states converge in finite time. Finally,simulations showing the efficiency of this decentralised finite-time control scheme on doubleintegratoragents are presented.

Σε αυτή τη διατριβή, μελετώνται εφαρμογές μεθόδων της θεωρίας παιγνίων και του αυτομάτου ελέγχου σε προβλήματα που ανακύπτουν σε αποκεντρωμένα διασυνδεδεμένα συστήματα. Συγκεκριμένα, εξετάζονται τρεις εφαρμογές. Η πρώτη εφαρμογή αφορά στην διάδοση απόψεων και τη χειραγώγηση σε κοινωνικά δίκτυα. Η δεύτερη σχετίζεται με την αυθόρμητη ανταπόκριση ενός πληθυσμού στο ξέσπασμα μιας επιδημίας μέσω της εφαρμογής κοινωνικής αποστασιοποίησης. Στην τρίτη εφαρμογή εισάγεται ένα πρωτόκολλο στοχαστικής συνεννόησης (consensus) για τον συντονισμό πρακτόρων με δυναμική υψηλής τάξης σε πεπερασμένο χρόνο. Σε αυτές τις τρεις εφαρμογές, η δομή του συστήματος είναι διασυνδεδεμένη, οι πράκτορες διαθέτουν κάποιο είδος νοημοσύνης και ενεργούν με αποκεντρωμένο τρόπο. Έτσι, είτε προκύπτουν καταστάσεις παιγνίου και μελετώνται τα σημεία ισορροπίας είτε απαιτούνται αποκεντρωμένα πρωτόκολλα ελέγχου για την επίτευξη κάποιου συλλογικού στόχου.Στην πρώτη εφαρμογή, μια διαδικασία κοινωνικής επιλογής μοντελοποιείται ως παίγνιο Nash μεταξύ των πρακτόρων. Οι παίκτες επικοινωνούν μεταξύ τους μέσω ενός δικτύου επικοινωνίας, π.χ., ενός κοινωνικού δικτύου, μοντελοποιημένου από ένα μη κατευθυνόμενο γράφο και οι απόψεις τους έχουν δυναμικές που μοντελοποιούν το φαινόμενο της σύγκλισης λόγω συμμόρφωσης προς τις απόψεις των γειτόνων. Τα κριτήρια των παικτών για αυτό το παίγνιο εκφράζουν την διελκυστίνδα της επιλογής μεταξύ αυτοσυνεπών και χειραγωγητικών συμπεριφορών. Οι βέλτιστες αποκρίσεις τους καταλήγουν σε έναν δυναμικό κανόνα για τις ενέργειές τους. Μελετάται η ευστάθεια αυτών των δυναμικών. Στην περίπτωση της αστάθειας, η οποία προκύπτει όταν οι παίκτες είναι εξαιρετικά χειραγωγητικοί, η σταθεροποίηση αυτής της δυναμικής μέσω του σχεδιασμού της τοπολογίας του δικτύου διατυπώνεται ως ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού. Οι περιορισμοί έχουν τη μορφή Διγραμμικής Ανισότητας Πινάκων (BMI), η οποία είναι γνωστό ότι οδηγεί σε ένα μη κυρτό σύνολο εφικτών λύσεων, στη γενική περίπτωση. Για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος προτείνεται ένας γενετικός αλγόριθμος, ο οποίος χρησιμοποιεί λογισμικό επίλυσης Γραμμικών Ανισοτήτων Πίνακων (LMI) κατά τη διαδικασία επιλογής της επόμενης γενιάς.Η δεύτερη εφαρμογή ασχολείται με την επιλογή ενός πληθυσμού να εφαρμόσει κοινωνική αποστασιοποίηση, η οποία διατυπώνεται ως παίγνιο Nash, όπου οι παίκτες καθορίζουν τις κοινωνικές τους αλληλεπιδράσεις. Οι διασυνδέσεις μεταξύ των παικτών μοντελοποιούνται από ένα γράφο που περιγράφει το δίκτυο των κοινωνικών τους επαφών. Η πληροφορία που είναι διαθέσιμη στους παίκτες έχει κρίσιμο ρόλο στο παίγνιο αυτό. Εξετάζονται δύο σενάρια διαθέσιμης πληροφορίας, η περίπτωση που οι παίκτες γνωρίζουν ακριβώς την κατάσταση της υγείας των γειτόνων τους και η περίπτωση που διαθέτουν μόνο στατιστική πληροφορία για την συνολική διάδοση της επιδημίας. Οι παίκτες θεωρούνται μυωπικοί και έτσι μελετώνται οι ισορροπίες Nash των στατικών παιγνίων που προκύπτουν για κάθε ημέρα. Οι ισορροπίες Nash χαρακτηρίζονται και εισάγονται αλγόριθμοι για τον υπολογισμό τους. Επιπλέον, μέσω προσομοιώσεων εξετάζονται οι επιπτώσεις της δομής του δικτύου, της μεταδοτικότητα του ιού, του αριθμού των ευάλωτων παικτών, των δυνατοτήτων του συστήματος υγειονομικής περίθαλψης και της ποιότητας των πληροφοριών (fake news).Στην τρίτη εφαρμογή εισάγεται και αναλύεται ένα νέο στοχαστικό πρωτόκολλο συνενόησης, που βασίζεται στη στοχαστική μίξη της ελάχιστης και της μέγιστης τιμής των γειτόνων κάθε πράκτορα. Η στοχαστική μίξη και η χαμηλή υπολογιστική προσπάθεια καθιστούν αυτό το πρωτόκολλο κατάλληλο για ασφαλή συναίνεση σε κυβερνοφυσικά (cyberphysical) συστήματα, που αποτελούνται από αυτόνομους πράκτορες με περιορισμένους πόρους. Αποδεικνύεται ότι το πρωτόκολλο συγκλίνει σχεδόν σίγουρα σε πεπερασμένο χρόνο. Επιπλέον, εξετάζεται η εφαρμογή του πρωτοκόλλου στοχαστικής συνενόησης σε συνδυασμό με έναν νόμο ελέγχου πεπερασμένου χρόνου σε ένα κατανεμημένο σύστημα πρακτόρων με δυναμική υψηλής τάξης και αποδεικνύεται ότι οι καταστάσεις των πρακτόρων συγκλίνουν σε πεπερασμένο χρόνο. Τέλος, παρουσιάζονται προσομοιώσεις που δείχνουν την αποτελεσματικότητα αυτού του αποκεντρωμένου σχήματος ελέγχου πεπερασμένου χρόνου σε πράκτορες με δυναμικές διπλού ολοκληρωτή.