Οι ακριβείς μεγάλες αποκλίσεις σε κατανομές με βαριές ουρές

Abstract

This paper comprises an attempt of investigation in the frame of asymptotic relations for sums of random variables whose distributions belong in the wider class of heavy tail distributions.More specifically, as a first result, we find the lower bound of asymptotic of large deviations for random sums of non negative random variables with long tails distributions.Moreover, for the non negative, independent and identical distributed random variables, we study the centered asymptotic relation of large deviations for non random sums as well as random sums in the frame of dominately varying tail distributions.Furthermore, for the non negative, independent and identical distributed random variables we investigate the asymptotic relation of large deviations for random sums in a frame of the subexponetial varying tail distributions.Finally, for the non negative, independent and identical distributed random variables, we prove the asymptotic relation of large deviation for random variables in finite time in the frame of the subexponetial varying tail distributions.Furthermore, we investigate the asymptotic relations of large deviations in the case of dependent random variables ( extended negative dependent ).Specifically, we find the lower bound of the asymptotic relation of large deviations for non random sums as well as random sums of negative random variables with long tail distributions.Additionally, we study the asymptotic relation of large deviations for non random sums as well as for random sums of dominately varying tail distributions for non negative random variables.Finally, we prove the asymptotic relation of large deviations for non random sums as well as for random sums in the frame of the intersection of long tail and of dominately varying tail distributions for non negative random variables.In the last part of the work, we provide applications of the above results in three stochastic models. In the renewal, the compound renewal and the negatively associated claim occurrences. Furthermore, for the conpound renewal model, we show that it satisfies the symptotic relation of the large deviation for non negative random variables with consistently varying tails.

Η εργασία αυτή περιέχει την ερευνητική προσπάθεια στο πλαίσιο των ασυμπτωματικών σχέσεων των ακριβών μεγάλων αποκλίσεων για αθροίσματα τυχαίων μεταβλητών των οποίων οι κατανομές ανήκουν στην εθρύτερη κλάση των κατανομών με βαριές ουρες.Ειδικότερα, ως πρώτο αποτέλεσμα, βρίσκουμε το κάτω φράγμα της ασυμπτωματικής σχεσης των μεγάλων αποκλίσεων για τυχαία αθποίσματα μη αρνητικών τυχαίων μεταβλητών με κατανομές στην κλάση των κατανομών με μακριές ουρές.Στη συνέχεια, για τις ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές, μελετάμε τις κεντροποιημένες ασυμπτωματικές σχέσεις των μεγαλων αποκλίσεων για μη τυχαια αθροίσματα αλλά και για τύχαία αθροίσματα στην περιοχή των κατανομών με κυριαρχημένες ούρες.Επιπροσθέτως,για τις ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητες, μελετάμε τις ασυμπτωματικές σχέσεις των μεγάλων αποκλίσεων για τυχαία αθροίσματα στην περιοχή των κατανομών με υποεκθετικές ούρές.Τέλος, για τις ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές, μελετάμε τις ασυμπτωματικές σχέσεις των μεγάλων αποκλίσεων για τυχαία αθροίσματα σε πεπερασμένο χρόνο στη περιοχή των κατανομών με υποεκθετικές ούρες.Παραπέρα, ερευνούμε την ασυμπτωματική σχέση των μεγάλων αποκλίσεων στην περιπτωση εξαρτημένων προσθετέων (ασθενώς αρνητικά εξαρτημένων).Συγκεκριμένα, βρίσκουμε το κάτω φράγμα της κεντροποιημένης ασυμπτωματικής σχέσεις των μεγάλων αποκλίσεων γι μη τυχααίααθροίσματα αλλά και για τυχαία αθροίσματα μη αρνητικών τυχαίων μεταβλητών που έχουν κατανομές με μακριές ουρές.Επιπροσθέτως, μελετάμε τις κεντροποιημένες ασυμπτωματικές σχέσεις των μεγάλων αποκλίσεων για μη τυχαία αθροίσματα στην περιοχή των κατανομών με κυριαρρχημένες ουρές για μη αρνητικές τυχαίες μετεβλητές.Τέλος, αποδεικνύουμε την ασυμπτωματική σχέση των μεγάλων αποκλίσεων για μη τυχαία αθροίσματα αλλά και για τυχαία αθροίσματα στην περιοχή της τομής των κατανομών με μακριές ουρές και των κατανομών με κυριαρχιμένες ουρές για μη αρνητικές τυχαίες μεταβλητές.Στο τελευταίο μέρος της εργασίας, δινονταί εφάρμογές των παραπάνω αποτελεσμάτων σε τρία στοχαστικά μοντέλα. Στο ανανεωτικό, στο σύνθετο ανανεωτικό και στο μοντέλο των αρνητικά συσχετισμένων πραγματοποιήσιμων ζημιών. Επιπλέον, για το σύνθετο ανανεωτικό μοντέλο δείχνουμε ότι ικανοποιεί την ασυμπτωτική σχάση των μεγάλων αποκλίσεων για μη αρνητικές τυχαίες μεταβλητές με συνεπώς μεταβαλλόμενες ουρές.